Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Hình học 12 cơ bản: Hệ toạ độ trong không gian.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Các bài tập sau đây đều xét trong không gian Oxyz.
Bài 1. Cho ba vectơ \(\overrightarrow a = (2; – 5;3)\), \(\overrightarrow b = (0;2; – 1)\), \(\overrightarrow c = (1;7;2).\)
a) Tính tọa độ của vectơ \(\overrightarrow d = 4\overrightarrow a – \frac{1}{3}\overrightarrow b + 3\overrightarrow c .\)
b) Tính tọa độ của vectơ \(\vec e = \vec a – 4\vec b – 2\vec c.\)
Lời giải:
a) Ta có \(\overrightarrow d = 4(2; – 5;3)\) \( – \frac{1}{3}(0;2; – 1) + 3(1;7;2).\)
\( = \left( {4.2 – \frac{1}{3}.0 + 3.1;4.( – 5) – \frac{1}{3}.2 + 3.7;4.3 – \frac{1}{3} \cdot ( – 1) + 3.2} \right).\)
\( = \left( {11;\frac{1}{3};\frac{{55}}{3}} \right).\)
b) Ta có \(\overrightarrow e = \overrightarrow a – 4\overrightarrow b – 2\overrightarrow c \) \( = (2; – 5;3) – 4(0;2; – 1) – 2(1;7;2).\)
\( = (2 – 4.0 – 2.1; – 5 – 4.2 – 2.7;3 – 4.( – 1) – 2.2)\) \( = (0; – 27;3).\)
Bài 2. Cho ba điểm \(A(1; – 1;1)\), \(B(0;1;2)\), \(C(1;0;1).\) Tìm tọa độ trọng tâm \(G\) của tam giác \(ABC.\)
Lời giải:
Gọi \(G\left( {{x_G};{y_G};{z_G}} \right)\) là tọa độ trong tâm tam giác \(ABC.\)
Ta có \(\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \vec 0.\) Mà:
\(\overrightarrow {GA} = \left( {1 – {x_G}; – 1 – {y_G};1 – {z_G}} \right).\)
\(\overrightarrow {GB} = \left( {0 – {x_G};1 – {y_G};2 – {z_G}} \right).\)
\(\overrightarrow {GC} = \left( {1 – {x_G};0 – {y_G};1 – {z_G}} \right).\)
Suy ra \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – {x_G} + \left( { – {x_G}} \right) + 1 – {x_G} = 0}\\
{ – 1 – {y_G} + 1 – {y_G} – {y_G} = 0}\\
{1 – {z_G} + 2 – {z_G} + 1 – {z_G} = 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x_G} = \frac{2}{3}}\\
{{y_G} = 0}\\
{{z_G} = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right..\)
Vậy \(G\left( {\frac{2}{3};0;\frac{4}{3}} \right).\)
Bài 3. Cho hình hộp \(ABCD.A’B’C’D’\) biết \(A = (1;0;1)\), \(B = (2;1;2)\), \(D = (1; – 1;1)\), \(C’ = (4;5; – 5).\) Tính tọa độ các đỉnh còn lại của hình hộp.
Lời giải:
Do \(ABCD.A’B’C’D’\) là hình hộp, nên: \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {A’B’} = \overrightarrow {D’C’} = \overrightarrow {DC} .\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (2 – 1;1 – 0;2 – 1)\) \( = (1;1;1)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {D’C’} = (1;1;1).\)
Tọa độ điểm \(D’ = (4 – 1;5 – 1; – 5 – 1)\) \( = (3;4; – 6).\)
Ta có \(\overrightarrow {DC} = (1;1;1).\)
Tọa độ điểm \(C = (1 + 1;1 – 1;1 + 1)\) \( = (2;0;2).\)
Do \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {A’D’} = \overrightarrow {B’C’} \) \( = (1 – 1; – 1 – 0;1 – 1)\) \( = (0; – 1;0).\)
Suy ra tọa độ điểm \(A’ = (3 – 0;4 + 1; – 6 – 0)\) \( = (3;5; – 6).\)
Tọa độ điểm \(B’ = (4 – 0;5 + 1; – 5 – 0)\) \( = (4;6; – 5).\)
Bài 4. Tính:
a) \(\vec a.\vec b\) với \(\vec a = (3;0; – 6)\), \(\vec b = (2; – 4;0).\)
b) \(\overrightarrow c .\overrightarrow d \) với \(\overrightarrow c = (1; – 5;2)\), \(\overrightarrow d = (4;3; – 5).\)
Lời giải:
a) Ta có \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 3.2 + 0.( – 4) + ( – 6).0 = 6.\) Vậy \(\overrightarrow a .\overrightarrow b = 6.\)
b) Ta có \(\overrightarrow c .\overrightarrow d = 1.4 + ( – 5).3 + 2.( – 5)\) \( = 4 – 15 – 10 = – 21.\)
Vậy \(\overrightarrow c .\overrightarrow d = – 21.\)
Bài 5. Tìm tâm và bán kính của các mặt cầu có phương trình sau đây:
a) \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x – 2y + 1 = 0.\)
b) \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} – 6x + 8y + 15z – 3 = 0.\)
Lời giải:
a) Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} – 8x – 2y + 1 = 0.\)
\( \Leftrightarrow {(x – 4)^2} + {(y – 1)^2} + {z^2} = 16.\)
Suy ra mặt cầu có tâm \(I(4;1;0)\), bán kính \(r = 4.\)
b) Ta có: \(3{x^2} + 3{y^2} + 3{z^2} – 6x + 8y + 15z – 3 = 0.\)
\( \Leftrightarrow {x^2} + {y^2} + {z^2} – 2x + \frac{8}{3}y + 5z – 1 = 0.\)
\( \Leftrightarrow {(x – 1)^2} + {\left( {y + \frac{4}{3}} \right)^2} + {\left( {z + \frac{5}{2}} \right)^2} = {\left( {\frac{{17}}{6}} \right)^2}.\)
Vậy mặt cầu có tâm \(I\left( {1; – \frac{4}{3}; – \frac{5}{2}} \right)\), bán kính \(R = \frac{{17}}{6}.\)
Bài 6. Lập phương trình mặt cầu trong hai trường hợp sau:
a) Có đường kính \(AB\) với \(A(4; – 3;7)\), \(B(2;1;3).\)
b) Đi qua điểm \(A(5; – 2;1)\) và có tâm \(C(3; – 3;1).\)
Lời giải:
a) Ta có \(\overrightarrow {AB} = (2 – 4;1 + 3;3 – 7)\) \( = ( – 2;4; – 4).\)
\( \Rightarrow AB = \sqrt {{{( – 2)}^2} + {4^2} + {4^2}} = 6.\)
Gọi \(I\) là trung điểm \(AB\) \( \Rightarrow I = \left( {\frac{{4 + 2}}{2};\frac{{ – 3 + 1}}{2};\frac{{7 + 3}}{2}} \right)\) \( \Rightarrow I = (3; – 1;5).\)
Suy ra mặt cầu đường kính \(AB\) có tâm \(I(3; – 1;4)\), bán kính \(R = 3.\)
Phương trình mặt cầu là: \({(x – 3)^2} + {(y + 1)^2} + {(z – 4)^2} = 9.\)
b) Do mặt cầu đi qua điểm \(A(5; – 2;1)\) và có tâm \(C(3; – 3;1)\), suy ra bán kính mặt cầu là: \(R = CA = |\overrightarrow {CA} |\) \( = \sqrt {{{(5 – 3)}^2} + {{( – 2 + 3)}^2} + {{(1 – 1)}^2}} \) \( = \sqrt 5 .\)
Suy ra mặt cầu có phương trình \({(x – 3)^2} + {(y + 3)^2} + {(z – 1)^2} = 5.\)
