Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Phương trình bậc hai với hệ số thực.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: \(-7\); \(-8\); \(-12\); \(-20\); \(-121.\)
Lời giải:
Căn bậc hai phức của \(-7\) là \( \pm i\sqrt 7 .\)
Căn bậc hai phức của \(-8\) là \( \pm i\sqrt 8 .\)
Căn bậc hai phức của \(-12\) là \( \pm i\sqrt {12} .\)
Căn bậc hai phức của \(-20\) là \( \pm i2\sqrt 5 .\)
Căn bậc hai phức của \(-121\) là \( \pm 11i.\)
Bài 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) \( – 3{z^2} + 2z – 1 = 0.\)
b) \(7{z^2} + 3z + 2 = 0.\)
c) \(5{z^2} – 7z + 11 = 0.\)
Lời giải:
a) \( – 3{z^2} + 2z – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow 3{z^2} – 2z + 1 = 0.\)
\(\Delta ‘ = {( – 1)^2} – 3.1 = – 2 < 0.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{1 \pm i\sqrt 2 }}{3}.\)
b) \(7{z^2} + 3z + 2 = 0.\)
\(\Delta = 9 – 4.7.2 = – 47 < 0.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{ – 3 \pm i\sqrt {47} }}{{14}}.\)
c) \(5{z^2} – 7z + 11 = 0.\)
\(\Delta = 49 – 4.5.11 = – 171 < 0.\)
Vậy phương trình có hai nghiệm phức là: \({z_{1,2}} = \frac{{7 \pm i\sqrt {171} }}{{10}}.\)
Bài 3. Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:
a) \({z^4} + {z^2} – 6 = 0.\)
b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\)
Lời giải:
a) \({z^4} + {z^2} – 6 = 0.\)
Đặt \({z^2} = t\), ta thu được phương trình: \({t^2} + t – 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 2}\\
{t = – 3}
\end{array}.} \right.\)
Với \(t = 2\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = 2\) \( \Leftrightarrow z = \pm \sqrt 2 .\)
Với \(t = -3\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 3\) \( \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 3 .\)
Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \({z_1} = \sqrt 2 \), \({z_2} = – \sqrt 2 \), \({z_3} = i\sqrt 3 \) và \({z_4} = – i\sqrt 3 .\)
b) \({z^4} + 7{z^2} + 10 = 0.\)
Đặt \({z^2} = t\), ta thu được phương trình: \({t^2} + 7t + 10 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = – 5}\\
{t = – 2}
\end{array}} \right..\)
Với \(t = -5\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 5\) \( \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 5 .\)
Với \(t = -2\), theo cách đặt ta có: \({z^2} = – 2\) \( \Leftrightarrow z = \pm i\sqrt 2 .\)
Vậy phương trình có bốn nghiệm là: \({z_1} = i\sqrt 5 \), \({z_2} = – i\sqrt 5 \), \({z_3} = i\sqrt 2 \), \({z_4} = – i\sqrt 2 .\)
Bài 4. Cho \(a,b,c \in R\), \(a \ne 0\), \({z_1}\), \({z_2}\) là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình \(a{z^2} + bz + c = 0.\) Hãy tính \({z_1} + {z_2}\) và \({z_1}{z_2}\) theo các hệ số \(a\), \(b\), \(c.\)
Lời giải:
Xét phương trình bậc hai: \(a{z^2} + bz + c = 0\), \(a \ne 0\) và \(a,b,c \in R.\)
Ta có: \(\Delta = {b^2} – 4ac.\)
+ Nếu \(\Delta \ge 0\), phương trình có hai nghiệm thực \({z_1}\), \({z_2}.\) Theo định lí Vi-ét ta có: \({z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\) và \({z_1}{z_2} = \frac{c}{a}.\)
+ Nếu \(\Delta < 0\), phương trình có hai nghiệm phức:
\({z_1} = \frac{{ – b – i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\), \({z_2} = \frac{{ – b + i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}.\)
Suy ra:
\({z_1} + {z_2}\) \( = \frac{{ – b – i\sqrt {|\Delta |} – b + i\sqrt {|\Delta |} }}{{2a}}\) \( = – \frac{b}{a}.\)
\({z_1}{z_2}\) \( = \frac{{( – b – i\sqrt {|\Delta |} )( – b + i\sqrt {|\Delta |} )}}{{4{a^2}}}\) \( = \frac{c}{a}.\)
Tóm lại: Cho \(a,b,c \in R\), \(a \ne 0\), \({z_1}\), \({z_2}\) là hai nghiệm (thực hoặc phức) của phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0.\) Ta luôn luôn có: \({z_1} + {z_2} = – \frac{b}{a}\) và \({z_1}{z_2} = \frac{c}{a}.\)
Bài 5. Cho \(z = a + bi\) là một số phức. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận \(z\) và \(\overline z \) làm nghiệm.
Lời giải:
Giả sử \(z = a + bi\) và \(\bar z = a – bi\) là hai nghiệm của phương trình hệ số thực: \(A{x^2} + Bx + C = 0\) \((A \ne 0)\) \( \Leftrightarrow {x^2} – \frac{B}{A}x + \frac{C}{A} = 0.\)
Theo bài 4 ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{z + \overline z = 2a = – \frac{B}{A}}\\
{z\overline z = {a^2} + {b^2} = \frac{C}{A}}
\end{array}} \right..\)
Vậy phương trình cần tìm là: \({x^2} + 2ax + {a^2} + {b^2} = 0.\)
