Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Dạng lượng giác của số phức và ứng dụng.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 27. Hãy tìm dạng lượng giác của các số phức: \(\overline z \); \( – z\); \(\frac{1}{z}\); \(Kz\) \(\left( {K \in {R^*}} \right)\) trong mỗi trường hợp sau:
a) \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) \((r > 0).\)
b) \(z = 1 + i\sqrt 3 .\)
Lời giải:
a) Ta có:
\(\overline z = r(\cos \varphi – i\sin \varphi ).\)
\( – z = – r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) \( = r(\cos (\varphi + \pi ) + i\sin (\varphi + \pi )).\)
\(\frac{1}{z} = \frac{1}{{r(\cos \varphi – i\sin \varphi )}}\) \( = \frac{{\cos \varphi + i\sin \varphi }}{r}\) \( = \frac{1}{r}(\cos \varphi + i\sin \varphi ).\)
\(Kz\) là một số phức có môđun là \(|Kz| = |K|.|z| = |K|.r.\), có acgumen là \(\varphi \) nếu \(K > 0\), là \(\varphi + \pi \) nếu \(K < 0.\)
Vậy \(Kz = |K|.r(\cos \varphi + i\sin \varphi )\) nếu \(K> 0.\)
\(Kz = |K|.r(\cos (\varphi + \pi ) + i\sin (\varphi + \pi ))\) nếu \(K > 0.\)
b) Khi \(z = 1 + i\sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow z = 2\left( {\frac{1}{2} + i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).\)
Nên:
\(\bar z = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right).\)
\( – z = – 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3}} \right).\)
\(\frac{1}{z} = \frac{1}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).\)
\(Kz = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2|K|\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right)}&{{\rm{với}}\,\,k > 0}\\
{2|K|\left( {\cos \frac{{4\pi }}{3} + i\sin \frac{{4\pi }}{3}} \right)}&{{\rm{với}}\,\,k < 0}
\end{array}} \right..\)
Bài 28. Viết các số phức sau dưới dạng lượng giác:
a) \(1 – i\sqrt 3 \); \(1 + i\); \((1 – i\sqrt 3 )(1 + i)\); \(\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}.\)
b) \(2i(\sqrt 3 – i).\)
c) \(\frac{1}{{2 + 2i}}.\)
d) \(z = \sin \varphi + i\cos \varphi \) \((\varphi \in R).\)
Lời giải:
a) \(z = 1 – i\sqrt 3 \) \( = 2\left( {\frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{{ – \pi }}{3} + i\sin \frac{{ – \pi }}{3}} \right).\)
\(z’ = 1 + i\) \( = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) \( = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).\)
\((1 – i\sqrt 3 )(1 + i) = z.z’.\)
Mà: \(z = 2\left( {\cos \frac{\pi }{3} – i\sin \frac{\pi }{3}} \right)\) \( = 2\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3}} \right)} \right).\)
\(z’ = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).\)
Nên \(z.z’\) \( = 2\sqrt 2 \left( {\cos \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{4} – \frac{\pi }{3}} \right)} \right)\) \( = 2\sqrt 2 \left( {\cos \frac{{ – \pi }}{{12}} + i\sin \left( { – \frac{\pi }{{12}}} \right)} \right).\)
\(\frac{{1 – i\sqrt 3 }}{{1 + i}}\) \( = \frac{z}{{z’}}\) \( = \frac{2}{{\sqrt 2 }}\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{3} – \frac{\pi }{4}} \right)} \right).\)
\( = \sqrt 2 \left[ {\cos \left( {\frac{{ – 7\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – 7\pi }}{{12}}} \right)} \right].\)
b) \(2i(\sqrt 3 – i)\) \( = 2\left( {i\sqrt 3 – {i^2}} \right)\) \( = 2(1 + i\sqrt 3 )\) \( = 4\left( {\frac{1}{2} + i.\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)\) \( = 4\left( {\cos \frac{\pi }{3} + i\sin \frac{\pi }{3}} \right).\)
c) \(\frac{1}{{2 + 2i}}\) \( = \frac{{2 – 2i}}{8}\) \( = \frac{1}{4}(1 – i)\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} – i.\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)
\( = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left( {\cos \frac{\pi }{4} – i\sin \frac{\pi }{4}} \right)\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{4}\left[ {\cos \left( {\frac{{ – \pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – \pi }}{4}} \right)} \right].\)
d) \(z = \sin \varphi + i\cos \varphi \) \( = \cos \left( {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{2} – \varphi } \right).\)
Bài 29. Dùng công thức khai triển nhị thức Niu-tơn \({(1 + i)^{19}}\) và công thức Moa-vrơ để tính: \(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – \ldots \ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}.\)
Lời giải:
Theo nhị thức Niutơn ta có:
\({(1 + i)^{19}}\) \( = C_{19}^0 + iC_{19}^1\) \( + {i^2}C_{19}^2 + {i^3}C_{19}^3\) \( + \ldots + {i^{18}}C_{19}^{18} + {i^{19}}C_{19}^{19}.\)
\( = \left( {C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – C_{19}^6 + \ldots – C_{19}^{18}} \right)\) \( + i\left( {C_{19}^1 – C_{19}^3 + \ldots – C_{19}^{19}} \right).\)
Mặt khác ta có \(1 + i\) \( = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).\)
Nên theo công thức Moa-vrơ ta có:
\({(1 + i)^{19}}\) \( = {\left[ {\sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)} \right]^{19}}\) \( = {(\sqrt 2 )^{19}}.\left( {\cos \frac{{19\pi }}{4} + i\sin \frac{{19\pi }}{4}} \right).\)
\( = {(\sqrt 2 )^{19}}.\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right)\) \( = {(\sqrt 2 )^{19}}\left( {\frac{{ – \sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)
\( = – \frac{{{{(\sqrt 2 )}^{20}}}}{2} + i\frac{{{{(\sqrt 2 )}^{20}}}}{2}\) \( = – {2^9} + i{.2^9}.\)
Vậy \(C_{19}^0 – C_{19}^2 + C_{19}^4 – \ldots + C_{19}^{16} – C_{19}^{18}\) \( = – {2^9} = – 512.\)
Bài 30. Gọi \(M\), \(M’\) là các điểm trong mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn các số \(z = 3 + i\), \(z’ = (3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i.\)
a) Tính \(\frac{{z’}}{z}.\)
b) Chứng minh rằng hiệu số acgumen của \(z’\) với acgumen của \(z\) là một số đo của góc lượng giác \((OM;OM’).\) Tính số đo đó.
Lời giải:
Ta có: \(\frac{{z’}}{z}\) \( = \frac{{(3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i}}{{3 + i}}\) \( = \frac{{[(3 – \sqrt 3 ) + (1 + 3\sqrt 3 )i](3 – i)}}{{(3 + i)(3 – i)}}.\)
\( = \frac{{10 + 10\sqrt 3 i}}{{10}}\) \( = 1 + \sqrt 3 i.\)
b) Ta có: \(M = (3;1)\), \(M’ = (3 – \sqrt 3 ;1 + 3\sqrt 3 ).\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {OM} = (3;1)\), \(\overrightarrow {OM’} = (3 – \sqrt 3 ;1 + 3\sqrt 3 ).\)
\( \Rightarrow \cos \left( {OM,OM’} \right)\) \( = \cos \left( {\overrightarrow {OM} ,\overrightarrow {OM’} } \right)\) \( = \frac{{\overrightarrow {OM} .\overrightarrow {OM’} }}{{|\overrightarrow {OM} |.|\overrightarrow {OM’} |}} = \frac{1}{2}\) \((1).\)
Mặt khác: \(\frac{{z’}}{z}\) \( = \frac{{\left| {z’} \right|}}{z}\left[ {\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right)} \right].\)
\( = \frac{{\sqrt {40} }}{{\sqrt {10} }}\left[ {\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right)} \right]\) \( = 2\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) + 2i\sin \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right).\)
Theo câu a, ta có \(\frac{{z’}}{z} = 1 + \sqrt 3 i\), suy ra \(2.\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = 1.\)
\( \Rightarrow \cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = \frac{1}{2}\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) ta có: \(\cos \left( {\varphi ‘ – \varphi } \right) = \cos \left( {OM,OM’} \right)\) nên hiệu \(\varphi ‘ – \varphi \) là một số đo của góc lượng giác \(\left( {OM,OM’} \right)\) và số đo đó là: \(\varphi ‘ – \varphi = \frac{\pi }{3} + k2\pi .\)
Bài 31. Cho các số phức \(w = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i)\) và \(\varepsilon = \frac{1}{2}( – 1 + i\sqrt 3 ).\)
a) Chứng minh rằng \({z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\), \({z_1} = {z_0}\varepsilon \), \({z_2} = {z_0}{\varepsilon ^2}\) là các nghiệm của phương trình \({z^3} – w = 0.\)
b) Biểu diễn hình học các số phức \({z_0}\), \({z_1}\), \({z_2}.\)
Lời giải:
a) Ta có \({z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\) \( \Rightarrow z_0^3 = \cos \frac{{3\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{3\pi }}{{12}}\) \( = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}.\)
Vậy \(z_0^3 – w = 0\) hay \({z_0}\) là một nghiệm của phương trình: \({z^3} – w = 0.\)
Ta lại có: \(\varepsilon = \frac{1}{2}( – 1 + i\sqrt 3 )\) \( = – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i\) \( = \cos \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{2\pi }}{3}} \right).\)
Nên \({z_1} = {z_0}.\varepsilon \) \( = \cos \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) \( = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}.\)
\( \Rightarrow z_1^3 = \cos \left( {\frac{{9\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{9\pi }}{4}} \right)\) \( = \cos \left( {2\pi + \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {2\pi + \frac{\pi }{4}} \right).\)
\( = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w.\)
Vậy \(z_1^3 – w = 0\), hay \({z_1}\) là một nghiệm của phương trình \({z^3} – w = 0.\)
Ta có: \({z_2} = {z_0}.{\varepsilon ^2}\) \( = \cos \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{\pi }{{12}} + \frac{{4\pi }}{3}} \right)\) \( = \cos \left( {\frac{{17\pi }}{{12}}} \right) + i\sin \left( {\frac{{17\pi }}{2}} \right).\)
\( \Rightarrow z_2^3 = \cos \left( {\frac{{17\pi }}{4}} \right) + i\sin \left( {\frac{{17\pi }}{4}} \right)\) \( = \cos \left( {4\pi + \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( {4\pi + \frac{\pi }{4}} \right)\) \( = \cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}.\)
Vậy \(z_2^3 = \frac{{\sqrt 2 }}{2}(1 + i) = w\) hay \(z_2^3 – w = 0.\)
Vậy \({z_2}\) cũng là một nghiệm của phương trình \({z^3} – w = 0.\)
b) Các điểm \(A\), \(B\), \(C\) lần lượt biểu diễn các số:
\({z_0} = \cos \frac{\pi }{{12}} + i\sin \frac{\pi }{{12}}\), \({z_1} = \cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}\), \({z_2} = \cos \frac{{17\pi }}{{12}} + i\sin \frac{{17\pi }}{{12}}.\)
Nhận xét: ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) tạo thành một tam giác đều.
LUYỆN TẬP
Bài 32. Sử dụng công thức Moa-vrơ để tính \(\sin 4\varphi \) và \(\cos 4\varphi \) theo các lũy thừa \(\sin \varphi \) và \(\cos \varphi .\)
Lời giải:
Theo công thức Moa-vrơ ta có:
\({(\cos \varphi + i\sin \varphi )^4}\) \( = \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi .\)
\( \Leftrightarrow \left( {{{\cos }^4}\varphi – 6{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^4}\varphi } \right)\) \( + 4\left( {{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi – {{\sin }^3}\varphi \cos \varphi } \right)i\) \( = \cos 4\varphi + i\sin 4\varphi .\)
\( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\cos 4\varphi = {{\cos }^4}\varphi – 6{{\sin }^2}\varphi {{\cos }^2}\varphi + {{\sin }^4}\varphi }\\
{\sin 4\varphi = 4\left( {{{\cos }^3}\varphi \sin \varphi – {{\sin }^3}\varphi \cos \varphi } \right)}
\end{array}} \right..\)
Bài 33. Tính: \({(\sqrt 3 – i)^6}\); \({\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}}\); \({\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}.\)
Lời giải:
Ta có: \(\sqrt 3 – i\) \( = 2\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{1}{2}i} \right)\) \( = 2\left( {\cos \left( {\frac{{ – \pi }}{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – \pi }}{6}} \right)} \right).\)
Nên \({(\sqrt 3 – i)^6}\) \( = {2^6}\left( {\cos \left( {\frac{{ – 6\pi }}{6}} \right) + i\sin \left( {\frac{{ – 6\pi }}{6}} \right)} \right)\) \( = 64(\cos ( – \pi ) + i\sin ( – \pi ))\) \( = – 64.\)
Ta có: \(\frac{i}{{1 + i}}\) \( = \frac{{i(1 – i)}}{{(1 + i)(1 – i)}}\) \( = \frac{{1 + i}}{2}\) \( = \frac{1}{2}(1 + i)\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right).\)
\( = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).\)
Nên: \({\left( {\frac{i}{{1 + i}}} \right)^{2004}}\) \( = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^{2004}}.\left( {\cos \frac{{2004\pi }}{4} + i\sin \frac{{2004\pi }}{4}} \right).\)
\( = {\left( {\frac{1}{{\sqrt 2 }}} \right)^{2004}}(\cos (501\pi + i\sin (501\pi ))\) \( = \frac{1}{{{2^{1002}}}}(\cos \pi + i\sin \pi )\) \( = \frac{{ – 1}}{{{2^{1002}}}}.\)
\(\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}\) \( = \frac{{(5 + 3i\sqrt 3 )(1 + 2i\sqrt 3 )}}{{(1 – 2i\sqrt 3 )(1 + 2i\sqrt 3 )}}\) \( = \frac{{ – 13 + 13i\sqrt 3 }}{{13}}\) \( = – 1 + i\sqrt 3 .\)
\( = 2\left( { – \frac{1}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}i} \right)\) \( = 2\left( {\cos \frac{{2\pi }}{3} + i\sin \frac{{2\pi }}{3}} \right).\)
Nên \({\left( {\frac{{5 + 3i\sqrt 3 }}{{1 – 2i\sqrt 3 }}} \right)^{21}}\) \( = {2^{21}}(\cos 14\pi + i\sin 14\pi )\) \( = {2^{21}}.\)
Bài 34. Cho số phức \(w = – \frac{1}{2}(1 + i\sqrt 3 ).\) Tìm các số nguyên dương \(n\) để \({w^n}\) là số thực. Hỏi có số nguyên dương \(m\) nào để \({w^m}\) là số ảo?
Lời giải:
Ta có: \(w = – \frac{1}{2} – i\frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( = \cos \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right) + i\sin \left( {\frac{{4\pi }}{3}} \right).\)
Nên \({w^n} = \cos \frac{{4n\pi }}{3} + i\sin \frac{{4n\pi }}{3}.\)
Để \({w^n}\) là số thực thì \(\sin \frac{{4n\pi }}{3} = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{4n\pi }}{3} = k\pi \) \( \Leftrightarrow n = \frac{{3k}}{4}.\)
Để \(n \in {N^*}\) thì \(k = 4t\) với \(t \in {N^*}.\) Khi đó \(n = 3t\) với \(t \in {N^*}.\)
Để \({w^m}\) là số ảo thì \(\cos \frac{{4m\pi }}{3} = 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{4m\pi }}{3} = \frac{\pi }{2} + k\pi .\)
\( \Leftrightarrow 8m = 3 + 6k\) với \(k \in Z\), \(m \in {N^*}.\)
Vì phương trình này vô nghiệm, nên không tồn tại \(m\) để \({w^m}\) là số ảo.
Bài 35. Viết dạng lượng giác của số phức \(z\) và của các căn bậc hai của \(z\) cho mỗi trường hợp sau:
a) \(|z| = 3\) và một acgumen của \(iz\) là \(\frac{{5\pi }}{4}.\)
b) \(|z| = \frac{1}{3}\) và một acgumen của \(\frac{{\overline z }}{{1 + i}}\) là \(\frac{{ – 3\pi }}{4}.\)
Lời giải:
Giả sử \(z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).\)
a) Vì \(|z| = 3\) \( \Rightarrow r = 3.\)
Ta có \(i = \cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}\) nên \(iz = 3\left( {\cos \left( {\varphi + \frac{\pi }{2}} \right) + i\sin \left( {\varphi + \frac{\pi }{2}} \right)} \right).\)
Theo bài ra ta có: \(\varphi + \frac{\pi }{2} = \frac{{5\pi }}{4}\) \( \Rightarrow \varphi = \frac{{3\pi }}{4}.\)
Vậy \(z = 3\left( {\cos \frac{{3\pi }}{4} + i\sin \frac{{3\pi }}{4}} \right).\)
\(z\) có hai căn bậc hai là \({z_1} = \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)\) và \({z_2} = – \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{3\pi }}{8} + i\sin \frac{{3\pi }}{8}} \right)\) \( = \sqrt 3 \left( {\cos \frac{{11\pi }}{8} + i\sin \frac{{11\pi }}{8}} \right).\)
b) Vì \(|z| = \frac{1}{3}\) \( \Rightarrow r = \frac{1}{3}.\)
Ta có \(1 + i\) \( = \sqrt 2 \left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2} + i\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\) \( = \sqrt 2 \left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right).\)
\(\overline z = \frac{1}{3}(\cos \varphi – i\sin \varphi )\) \( = \frac{1}{3}[\cos ( – \varphi ) + i\sin ( – \varphi )].\)
Vậy \(\frac{{\bar z}}{{1 + i}}\) \( = \frac{1}{{3\sqrt 2 }}\left( {\cos \left( { – \varphi – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \varphi – \frac{\pi }{4}} \right)} \right).\)
Theo bài ra ta có: \( – \varphi – \frac{\pi }{4} = – \frac{{3\pi }}{4}\) \( \Rightarrow \varphi = \frac{\pi }{2}.\)
Vậy \(z = \frac{1}{3}\left( {\cos \frac{\pi }{2} + i\sin \frac{\pi }{2}} \right).\)
\(z\) có hai căn bậc hai là: \({z_1} = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)\) và \({z_2} = – \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{\pi }{4} + i\sin \frac{\pi }{4}} \right)\) \( = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\left( {\cos \frac{{5\pi }}{4} + i\sin \frac{{5\pi }}{4}} \right).\)
Bài 36. Viết dưới dạng lượng giác các số phức:
a) \(1 – i\tan \frac{\pi }{5}.\)
b) \(\tan \frac{{5\pi }}{8} + i.\)
c) \(1 – \cos \varphi – i\sin \varphi \) (\(\varphi \in R\), \(\varphi \ne k2\pi \), \(k \in Z\)).
Lời giải:
a) \(z = 1 – i\tan \frac{\pi }{5}.\)
\( = 1 – i.\frac{{\sin \frac{\pi }{5}}}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\) \( = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left( {\cos \frac{\pi }{5} – i\sin \frac{\pi }{5}} \right)\) \( = \frac{1}{{\cos \frac{\pi }{5}}}\left( {\cos \left( { – \frac{\pi }{5}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{5}} \right)} \right).\)
b) \(z = \tan \frac{{5\pi }}{8} + i.\)
\( = \frac{{\sin \frac{{5\pi }}{8}}}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}} + i\) \( = \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left( {\sin \frac{{5\pi }}{8} + i\cos \frac{{5\pi }}{8}} \right)\) \( = \frac{1}{{\cos \frac{{5\pi }}{8}}}\left[ {\cos \left( { – \frac{\pi }{4}} \right) + i\sin \left( { – \frac{\pi }{4}} \right)} \right].\)
c) \(z = (1 – \cos \varphi ) – i\sin \varphi \) \( = 2{\sin ^2}\frac{\varphi }{2} – i2\sin \frac{\varphi }{2}\cos \frac{\varphi }{2}.\)
\( = 2\sin \frac{\varphi }{2}\left( {\sin \frac{\varphi }{2} – i\cos \frac{\varphi }{2}} \right)\) \( = 2\sin \frac{\varphi }{2}\left[ {\cos \left( {\frac{{\varphi – \pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{{\varphi – \pi }}{2}} \right)} \right]\) (nếu \(\sin \frac{\varphi }{2} > 0\)).
Hoặc \(z = \left( { – 2\sin \frac{\varphi }{2}} \right)\left[ {\cos \left( {\frac{{\varphi + \pi }}{2}} \right) + i\sin \left( {\frac{{\varphi + \pi }}{2}} \right)} \right]\) (nếu \({\sin \frac{\varphi }{2} < 0}\)).
