Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Phép chia số phức.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Thực hiện các phép chia sau:
a) \(\frac{{2 + i}}{{3 – 2i}}.\)
b) \(\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}.\)
c) \(\frac{{5i}}{{2 – 3i}}.\)
d) \(\frac{{5 – 2i}}{i}.\)
Lời giải:
a) Ta có: \(\frac{{2 + i}}{{3 – 2i}}\) \( = \frac{{(2 + i)(3 + 2i)}}{{{3^2} + {{( – 2)}^2}}}\) \( = \frac{4}{{13}} + \frac{7}{{13}}i.\)
b) \(\frac{{1 + i\sqrt 2 }}{{2 + i\sqrt 3 }}\) \( = \frac{{(1 + i\sqrt 2 )(2 – i\sqrt 3 )}}{{{2^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}}}\) \( = \frac{{2 + \sqrt 6 }}{7} + \frac{{2\sqrt 2 – \sqrt 3 }}{7}i.\)
c) \(\frac{{5i}}{{2 – 3i}}\) \( = \frac{{5i(2 + 3i)}}{{{2^2} + {{( – 3)}^2}}}\) \( = – \frac{{15}}{{13}} + \frac{{10}}{{13}}i.\)
d) \(\frac{{5 – 2i}}{i}\) \( = \frac{{(5 – 2i)( – i)}}{{{0^2} + {1^2}}}\) \( = – 2 – 5i.\)
Bài 2. Tìm nghịch đảo \(\frac{1}{z}\) của các số phức:
a) \({1 + 2i.}\)
b) \({\sqrt 2 – 3i.}\)
c) \({i.}\)
d) \(5 + i\sqrt 3 .\)
Lời giải:
a) Với \(z = 1 + 2i\) \( \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{1 – 2i}}{{{1^2} + {{(2)}^2}}}\) \( = \frac{{1 – 2i}}{5} = \frac{1}{5} – \frac{2}{5}i.\)
b) Với \(z = \sqrt 2 – 3i\) \( \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{{{(\sqrt 2 )}^2} + {{( – 3)}^2}}}\) \( = \frac{{\sqrt 2 + 3i}}{{11}}\) \( = \frac{{\sqrt 2 }}{{11}} + \frac{3}{{11}}i.\)
c) Với \(z = i\) \( \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{ – i}}{{{{(1)}^2}}} = – i.\)
d) Với \(z = 5 + i\sqrt 3 \) \( \Rightarrow \frac{1}{z} = \frac{{5 – i\sqrt 3 }}{{{5^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}}}\) \( = \frac{5}{{28}} – \frac{{\sqrt 3 }}{{28}}i.\)
Bài 3. Thực hiện các phép tính sau:
a) \(2i(3 + i)(2 + 4i).\)
b) \(\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}}.\)
c) \(3 + 2i + (6 + i)(5 + i).\)
d) \(4 – 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}.\)
Lời giải:
a) Ta có: \(2i(3 + i)(2 + 4i)\) \( = 2i(2 + 14i)\) \( = – 28 + 4i.\)
b) \(\frac{{{{(1 + i)}^2}{{(2i)}^3}}}{{ – 2 + i}}\) \( = \frac{{2i( – 8i)}}{{ – 2 + i}}\) \( = \frac{{16}}{{ – 2 + i}}\) \( = \frac{{16( – 2 – i)}}{{{{( – 2)}^2} + {1^2}}}\) \( = \frac{{ – 32}}{5} – \frac{{16}}{5}i.\)
c) \((3 + 2i) + (6 + i)(5 + i)\) \( = (3 + 2i) + (29 + 11i)\) \( = 32 + 13i.\)
d) \(4 – 3i + \frac{{5 + 4i}}{{3 + 6i}}\) \( = 4 – 3i + \frac{{(5 + 4i)(3 – 6i)}}{{{3^2} + {6^2}}}\) \( = 4 – 3i + \frac{{39}}{{45}} – \frac{{18}}{{45}}i\) \( = \frac{{73}}{{15}} – \frac{{17}}{5}i.\)
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) \((3 – 2i)z + (4 + 5i)\) \( = 7 + 3i.\)
b) \((1 + 3i)z – (2 + 5i)\) \( = (2 + i)z.\)
c) \(\frac{z}{{4 – 3i}} + (2 – 3i)\) \( = 5 – 2i.\)
Lời giải:
a) \((3 – 2i)z + (4 + 5i) = 7 + 3i\) \( \Leftrightarrow (3 – 2i)z = 3 – 2i\) \( \Leftrightarrow z = \frac{{3 – 2i}}{{3 – 2i}} = 1.\)
Vậy phương trình có một nghiệm \(z = 1.\)
b) \((1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z.\)
\( \Leftrightarrow (1 + 3i)z – (2 + i)z = 2 + 5i\) \( \Leftrightarrow ( – 1 + 2i)z = 2 + 5i.\)
\( \Leftrightarrow z = \frac{{2 + 5i}}{{ – 1 + 2i}}\) \( = \frac{{(2 + 5i)( – 1 – 2i)}}{5}\) \( \Leftrightarrow z = \frac{8}{5} – \frac{9}{5}i.\)
c) \(\frac{z}{{4 – 3i}} + (2 – 3i) = 5 – 2i.\)
\( \Leftrightarrow \frac{z}{{4 – 3i}} = 3 + i\) \( \Leftrightarrow z = (4 – 3i)(3 + i)\) \( \Leftrightarrow z = 15 – 5i.\)
Vậy phương trình có một nghiệm là: \(z = 15 – 5i.\)
