Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 cơ bản: Số phức.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Tìm phần thực và phần ảo của số phức \(z\), biết:
a) \(z = 1 – \pi i.\)
b) \(z = \sqrt 2 – i.\)
c) \(z = 2\sqrt 2 .\)
d) \(z = – 7i.\)
Lời giải:
a) Số phức \(z = 1 – \pi i\) có phần thực bằng \(1\), phần ảo bằng \(\pi .\)
b) Số phức \(z = \sqrt 2 – i\) có phần thực bằng \(2\), phần ảo bằng \(-1.\)
c) Số phức \(z = 2\sqrt 2 \) có phần thực bằng \(2\sqrt 2 \), phần ảo bằng \(0.\)
d) Số phức \(z = – 7i\) có phần thực bằng \(0\), phần ảo bằng \(-7.\)
Bài 2. Tìm số thực \(x\) và \(y\) biết:
a) \((3x – 2) + (2y + 1)i\) \( = (x + 1) – (y – 5)i.\)
b) \((1 – 2x) – i\sqrt 3 \) \( = \sqrt 5 + (1 – 3y)i.\)
c) \((2x + y) + (2y – x)i\) \( = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.\)
Lời giải:
a) \((3x – 2) + (2y + 1)i\) \( = (x + 1) – (y – 5)i.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{3x – 2 = x + 1}\\
{2y + 1 = – y + 5}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x = 3}\\
{3y = 4}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{3}{2}}\\
{y = \frac{4}{3}}
\end{array}} \right..\)
b) \((1 – 2x) – i\sqrt 3 \) \( = \sqrt 5 + (1 – 3y)i\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{1 – 2x = \sqrt 5 }\\
{ – \sqrt 3 = 1 – 3y}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{1 – \sqrt 5 }}{2}}\\
{y = \frac{{1 + \sqrt 3 }}{2}}
\end{array}} \right..\)
c) \((2x + y) + (2y – x)i\) \( = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + y = x – 2y + 3}\\
{2y – x = y + 2x + 1}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + 3y – 3 = 0}\\
{ – 3x + y – 1 = 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 1}
\end{array}} \right..\)
Bài 3. Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:
a) Phần thực của \(z\) bằng \(-2.\)
b) Phần ảo của \(z\) bằng \(3.\)
c) Phần thực của \(z\) thuộc khoảng \((-1;2).\)
d) Phần ảo của \(z\) thuộc đoạn \([1;3].\)
e) Phần thực và phần ảo của \(z\) đều thuộc đoạn \([-2;2].\)
Lời giải:
a) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) có phần thực bằng \(–2\) là đường thẳng song song với trục \(Oy\), cắt trục \(Ox\) tại điểm có tọa độ \((-2;0)\) như hình 1.
b) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) có phần ảo bằng \(3\) là một đường thẳng song song với trục \(Ox\) và cắt trục \(Oy\) tại điểm có tọa độ là \((0;3)\) như hình 2.
c) Tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức \(z\) có phần thực thuộc khoảng \((-1;2)\) là một phần mặt phẳng được giới hạn bởi hai đường \(x = -1\) và \(x = 2\), như hình 3, không kể các điểm nằm trên hai đường thẳng này.
d) Tập hợp các điểm trên mặt phẳng phức biểu diễn cho số phức \(z\) có phần ảo thuộc đoạn \([1;3]\) là phần mặt phẳng được giới hạn bởi các đường \(y = 1\) và \(y = 3\), như hình 4, lấy cả những điểm trên đường thẳng \(y = 1\) và \(y = 3.\)
e) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) có phần thực và phần ảo đều thuộc đoạn \([-2;2]\) là phần phẳng giới hạn bởi các đường \(x = -2\), \(y = -2\), \(x = 2\) và \(y = 2\) như hình 5, lấy tất cả những điểm nằm trên biên.
Bài 4. Tính \(|z|\), với:
a) \(z = – 2 + i\sqrt 3 .\)
b) \(z = \sqrt 2 – 3i.\)
c) \(z = -5.\)
d) \(z = i\sqrt 3 .\)
Lời giải:
a) \(z = – 2 + i\sqrt 3 \) \( \Rightarrow |z| = \sqrt {{{( – 2)}^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 7 .\)
b) \(z = \sqrt 2 – 3i\) \( \Rightarrow |z| = \sqrt {{{(\sqrt 2 )}^2} + {{( – 3)}^2}} = \sqrt {11} .\)
c) \(z = – 5\) \( \Rightarrow |z| = \sqrt {{{( – 5)}^2} + {0^2}} = 5.\)
d) \(z = i\sqrt 3 \) \( \Rightarrow |z| = \sqrt {{0^2} + {{(\sqrt 3 )}^2}} = \sqrt 3 .\)
Bài 5. Trên mặt phẳng tọa độ tìm tập hợp các điểm biểu diễn các số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện:
a) \({|z| = 1.}\)
b) \({|z| \le 1.}\)
c) \({1 < |z| \le 2.}\)
d) \({|z| = 1}\) và phần ảo của \(z\) bằng \(1.\)
Lời giải:
a) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z| = 1\) là tập hợp các điểm thuộc đường tròn tâm \(O(0;0)\) có bán kính \(R = 1\) như hình 6.
b) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) thỏa mãn \(|z| \le 1\) là một hình tròn có bán kính \(R = 1\) và tâm \(O(0;0)\), thuộc miền gạch sọc như hình 7.
c) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) thỏa mãn điều kiện \(1 < |z| \le 2\) là miền phẳng được giới hạn bởi hai đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 1\) và \(R = 2\), miền gạch sọc như hình 8 lấy cả những điểm thuộc đường tròn bán kính \(R = 2\), nhưng không lấy những điểm thuộc đường tròn có bán kính bằng \(1.\)
d) Tập hợp các điểm biểu diễn cho số phức \(z\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là giao điểm của đường tròn tâm \(O\) bán kính \(R = 1\) và đường thẳng \(y = 1\) như hình 9 chỉ có một điểm \((0;1).\)
Bài 6. Tìm \(\overline z \), biết:
a) \(z = 1 – i\sqrt 2 .\)
b) \(z = – \sqrt 2 + i\sqrt 3 .\)
c) \(z = 5.\)
d) \(z = 7i.\)
Lời giải:
a) \(z = 1 – i\sqrt 2 \) \( \Rightarrow \bar z = 1 + i\sqrt 2 .\)
b) \(z = – \sqrt 2 + i\sqrt 3 \) \( \Rightarrow \bar z = – \sqrt 2 – i\sqrt 3 .\)
c) \(z = 5\) \( \Rightarrow \bar z = 5.\)
d) \(z = 7i\) \( \Rightarrow \overline z = – 7i.\)
