toanmax.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề chính thức kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2025 – 2026 trường THPT chuyên Đại học Vinh, tỉnh Nghệ An.
Trích dẫn Đề chọn ĐT thi HSG QG Toán THPT năm 2025 – 2026 trường chuyên ĐH Vinh – Nghệ An:
+ Trên bàn cờ kích thước 2026 × 2026 được chia thành các ô vuông, có một quân mã. Cho biết rằng quân mã này có thể nhảy giữa hai ô nằm ở hai góc đối diện nhau trên các hình chữ nhật con kích thước 3 × 2 hoặc 2 × 3 của bàn cờ. a) Giả sử quân mã xuất phát từ một ô nào đó, nhảy 2025 bước qua 2025 ô phân biệt của bàn cờ. Chứng minh rằng quân mã không thể dừng lại ở ô có đúng một đỉnh chung với ô mà nó xuất phát. b) Tính số cách mà quân mã có thể nhảy từ ô góc dưới bên trái lên ô góc trên bên phải, mỗi bước chỉ đi theo hướng sang phải và lên trên.
+ Với mỗi số nguyên dương n, đặt An = 1^n + 2^n + 3^n + 4^n. a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương k, tồn tại vô hạn n để An chia hết cho 5^k. b) Tìm tất cả các số nguyên dương n để An có tận cùng gồm đúng hai chữ số 0.
+ Cho tam giác nhọn không cân ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn (T) thay đổi đi qua B, C cắt hai cạnh AB, AC lần lượt tại điểm thứ hai là D, E. Gọi I là giao điểm của BE và CD, F là giao điểm của DE và BC, K là giao điểm thứ hai của AF và (O), J là trung điểm AF. Đường thẳng IJ cắt (T) tại M, N (M nằm giữa J và N). Tiếp tuyến của (T) tại N cắt AF tại S. a) Chứng minh rằng đường tròn (SKI) đi qua trung điểm của MN. b) Gọi (w) là đường tròn đi qua F, M và tiếp xúc với (T). Chứng minh rằng (w) luôn đi qua một điểm cố định khi (T) thay đổi.
