toanmax.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề chính thức kỳ thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán THPT năm học 2025 – 2026 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hà Tĩnh. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 10 và ngày 11 tháng 09 năm 2025. Đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2025 – 2026 sở GD&ĐT Hà Tĩnh:
+ Cho tam giác ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC, D là điểm bất kỳ nằm trên đoạn thẳng CM. Lấy E, F lần lượt là hình chiếu của B, C trên đường thẳng AD. Gọi G là giao điểm của đường thẳng qua E song song với AB và đường thẳng qua F song song với AC, K là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác GEF. a) Chứng minh rằng OKD = 90°. b) Gọi N là trung điểm của OA. Chứng minh rằng NM = NK.
+ An và Bình chơi trò chơi trên bảng 8 x 8. Hai bạn thay phiên nhau đi. Mỗi bước, An đánh dấu một ô trống nào đó (chưa được đánh dấu cũng như không bị phủ bởi các quân domino). Còn mỗi bước, Bình được phép chọn 2 ô kề nhau và phủ chúng bởi một quân domino sao cho hai ô này đều chưa bị phủ bởi domino, và tổng số ô bị đánh dấu mà quân domino đó phủ lên là 0 hoặc 2 (tức là, hoặc cả hai ô đều đã bị đánh dấu, hoặc cả hai ô đều chưa bị đánh dấu). Người nào không thể đi được nữa thì thua. Hỏi ai có chiến lược thắng cuộc nếu: a) An là người đi trước? b) Bình là người đi trước? Một domino là một hình chữ nhật gồm hai ô kề nhau.
+ Với số nguyên dương n, kí hiệu τ(n) là số các ước số nguyên dương của n (kể cả 1 và n). a) Chứng minh rằng phương trình τ(n) = 2025 có vô số nghiệm. b) Hãy tìm tất cả số nguyên dương k sao cho τ(n2) = kτ(n) với n nguyên dương nào đó.
