toanmax.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề khảo sát chất lượng đội tuyển học sinh giỏi môn Toán năm học 2025 – 2026 trường THPT chuyên Lào Cai, tỉnh Lào Cai. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 26 và 27 tháng 08 năm 2025.
Trích dẫn Đề khảo sát đội tuyển HSG Toán năm 2025 – 2026 trường THPT chuyên Lào Cai:
+ Cho tam giác ABC nhọn không cân (AB < AC) nội tiếp trong đường tròn (O). Kẻ các đường kính AA’, BB’, CC’ của (O) và giả sử AB’, AC’ lần lượt cắt A’C, A’B tại M, N. Đường thẳng MN cắt đường thẳng BC và các cạnh AB, AC lần lượt tại D, E, F. a) Chứng minh rằng AD là tiếp tuyến của (O). b) Dựng các điểm X, Y trên đoạn thẳng BC sao cho EX // AC, FY // AB. Các đường thẳng EX và FY cắt nhau tại T. Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác XYT tiếp xúc với đường tròn (O).
+ Một tập hợp con S ⊂ {1; 2; …; n} được gọi là tập tốt nếu với mọi x thuộc S thì ít nhất một trong hai số x – 1 hoặc x + 1 cũng thuộc S. a) Chứng minh rằng một tập con S ⊂ {1; 2; …; n} với n ≥ 5, gồm 5 phần tử là tập tốt khi và chỉ khi nó có dạng S = A ∪ B, với A ∩ B = Ø, trong đó A gồm 3 số nguyên liên tiếp và B gồm hai số nguyên liên tiếp. b) Chứng minh rằng số tập con S (S là tập tốt) gồm 5 phần tử của {1; 2; …; n} với n ≥ 5 là một số chính phương.
+ Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) có trọng tâm G, trực tâm H và các đường cao AD, BE, CF. Các tia GD, GE, GF cắt đường tròn (O) tại X, Y, Z. Gọi X’, Y’, Z’ lần lượt là đối xứng của X, Y, Z qua trung điểm các cạnh BC, CA, АВ của tam giác ABC. a) Chứng minh rằng HX’, HY’, HZ’ lần lượt cắt BC, CA, AB tại ba điểm nằm trên một đường thẳng vuông góc với OH. b) Chứng minh rằng AX’, BY’, CZ’ đồng quy.
