toanmax.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề kiểm tra khảo sát chọn học sinh dự thi chọn đội tuyển của tỉnh thi chọn học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán năm học 2025 – 2026 trường THPT chuyên Lam Sơn, tỉnh Thanh Hóa. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 25 và 26 tháng 08 năm 2025. Đề thi có đáp án và lời giải chi tiết.
Trích dẫn Đề chọn học sinh giỏi Toán năm 2025 – 2026 trường THPT chuyên Lam Sơn – Thanh Hóa:
+ Cho n điểm trong mặt phẳng, với n > 4 và không có ba điểm nào thẳng hàng. Chứng minh rằng có ít nhất (n – 3)(n – 4)/2 tứ giác lồi có đỉnh nằm trong số n điểm đã cho.
+ Cho tam giác ABC nhọn, không cân nội tiếp đường tròn (O) có trực tâm H và M là trung điểm của AH. Gọi (O1), (O2) là các đường tròn đi qua H và lần lượt tiếp xúc với BC ở B, C. Gọi X, Y lần lượt là tâm các đường tròn bàng tiếp góc H của hai tam giác HMO1, HМО2. a) Chứng minh rằng XY song song với O1O2. b) Giả sử O1O2 cắt BC ở T. Đường tròn (MOT) cắt OH tại K khác O. Chứng minh rằng tâm của đường tròn (AOK) nằm trên một đường trung bình của tam giác ABC.
+ Tìm tất cả các đa thức P(x) với hệ số nguyên sao cho tồn tại số M để n^n-1 – 1 chia hết cho P(n) với mọi n thuộc N, n ≥ M.
