Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 26. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = \sin x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = 0\) và \(x = \frac{{7\pi }}{6}.\)
Lời giải:
Ta thấy \(\sin x + 1 \ge 0\), \(\forall x \in \left( {0;\frac{{7\pi }}{6}} \right)\) nên diện tích \(S\) cần tìm bằng:
\(S = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} | \sin x + 1|dx\) \( = \int_0^{\frac{{7\pi }}{6}} {(\sin x + 1)dx} \) \( = \left. {( – \cos x + x)} \right|_0^{\frac{{7\pi }}{6}}.\)
\( = \left( { – \cos \frac{{7\pi }}{6} + \frac{{7\pi }}{6}} \right)\) \( – ( – \cos 0 + 0)\) \( = \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{{7\pi }}{6} + 1.\)
Bài 27. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị hàm số \(y = {\cos ^2}x\), trục hoành, trục tung và đường thẳng \(x = \pi .\)
b) Đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}.\)
c) Đồ thị hai hàm số \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} – 2{x^2}\) trong miền \(x > 0.\)
Lời giải:
a) Diện tích \(S\) cần tìm:
\(S = \int_0^\pi {{{\cos }^2}} xdx\) \( = \int_0^\pi {\frac{{1 + \cos 2x}}{2}dx} \) \( = \left. {\frac{1}{2}x} \right|_0^\pi + \left. {\frac{{\sin 2x}}{4}} \right|_0^\pi \) \( = \frac{\pi }{2}.\)
b) Hoành độ giao điểm của đồ thị hai hàm số \(y = \sqrt x \) và \(y = \sqrt[3]{x}\) là nghiệm của phương trình:
\(\sqrt x = \sqrt[3]{x}\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^3} = {x^2}}\\
{x \ge 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 1}
\end{array}} \right..\)
Diện tích cần tìm \(S = \int_0^1 | \sqrt x – \sqrt[3]{x}|dx\) \( = \int_0^1 {(\sqrt[3]{x} – \sqrt x )dx} .\)
\( = \int_0^1 {\left( {{x^{\frac{1}{3}}} – {x^{\frac{1}{2}}}} \right)dx} \) \( = \left. {\left( {\frac{{{x^{\frac{4}{3}}}}}{{\frac{4}{3}}} – \frac{{{x^{\frac{3}{2}}}}}{{\frac{3}{2}}}} \right)} \right|_0^1\) \( = \frac{3}{4} – \frac{2}{3} = \frac{1}{{12}}.\)
c) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số: \(y = 2{x^2}\) và \(y = {x^4} – 2{x^2}\) (với \(x > 0\)).
\(2{x^2} = {x^4} – 2{x^2}\) \( \Leftrightarrow {x^4} – 4{x^2} = 0\) \( \Leftrightarrow {x^2}\left( {{x^2} – 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = 2}
\end{array}} \right..\)
Vậy diện tích cần tìm \(S = \int_0^2 {\left| {{x^4} – 2{x^2} – 2{x^2}} \right|dx} \) \( = \int_0^2 {\left| {{x^4} – 4{x^2}} \right|dx} .\)
\( = \int_0^2 {{x^2}} \left| {{x^2} – 4} \right|dx\) \( = \int_0^2 {{x^2}} \left( {4 – {x^2}} \right)dx\) \( = \int_0^2 {\left( {4{x^2} – {x^4}} \right)dx} .\)
\( = \left. {\left( {\frac{{4{x^3}}}{3} – \frac{{{x^5}}}{5}} \right)} \right|_0^2\) \( = \frac{{32}}{3} – \frac{{32}}{5} = \frac{{64}}{{15}}.\)
Bài 28. Tính diện tích các hình phẳng giới hạn bởi:
a) Đồ thị các hàm số \(y = {x^2} – 4\), \(y = – {x^2} – 2x\) và hai đường thẳng \(x = – 3\), \(x = – 2.\)
b) Đồ thị hai hàm số \(y = {x^2} – 4\) và \(y = – {x^2} – 2x.\)
c) Đồ thị hàm số \(y = {x^3} – 4x\), trục hoành, đường thẳng \(x = -2\) và đường thẳng \(x = 4.\)
Lời giải:
a) Dựa vào hình vẽ ta thấy diện tích hình phẳng cần tìm là:
\(S = \int_{ – 3}^2 {\left| {\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right)} \right|dx} .\)
\( = \int_{ – 3}^{ – 2} {\left[ {\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right)} \right]dx.} \)
\( = \int_{ – 3}^2 {\left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)dx} .\)
\( = \left. {\left( {2\frac{{{x^3}}}{3} + 2\frac{{{x^2}}}{2} – 4x} \right)} \right|_{ – 3}^{ – 2}\) \( = \frac{{11}}{3}.\)
Chú ý: Ở câu này, nếu không vẽ hình thì phải chứng tỏ được rằng \(\forall x \in [ – 3; – 2]\) thì \(\left( {{x^2} – 4} \right) – \left( { – {x^2} – 2x} \right) \ge 0\) để phá được dấu giá trị tuyệt đối.
b) Phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hai hàm số đã cho là:
\({x^2} – 4 = – {x^2} – 2x\) \( \Leftrightarrow {x^2} + x – 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{x = – 2}
\end{array}} \right..\)
Dựa vào hình vẽ ở câu a ta có:
\(S = \int_{ – 2}^1 {\left| {\left( {{x^2} – 4} \right) – ( – {x^2} – 2x)} \right|dx} \) \( = \int_{ – 2}^1 {\left[ { – \left( {2{x^2} + 2x – 4} \right)} \right]dx} .\)
\( = \left. {\left( { – 2\frac{{{x^3}}}{3} – 2\frac{{{x^2}}}{2} + 4x} \right)} \right|_{ – 2}^1 = 9.\)
c) Diện tích cần tìm \(S = \int_{ – 2}^4 {\left| {{x^3} – 4x} \right|dx} .\)
Ta có: \({x^3} – 4x = x\left( {{x^2} – 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{x = \pm 2}
\end{array}} \right..\)
Bảng xét dấu:
Vậy \(S = \int_{ – 2}^0 {\left( {x_ – ^3 – 4x} \right)dx} \) \( + \int_0^2 {\left[ { – \left( {{x^3} – 4x} \right)} \right]dx} \) \( + \int_2^4 {\left( {{x^3} – 4x} \right)dx} .\)
\( = \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_{ – 2}^0\) \( + \left. {\left( {\frac{{ – {x^4}}}{4} + \frac{{4{x^2}}}{2}} \right)} \right|_0^2\) \( + \left. {\left( {\frac{{{x^4}}}{4} – 4\frac{{{x^2}}}{2}} \right)} \right|_2^4 = 44.\)
