Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Một số phương pháp tính tích phân.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 17. Dùng phương pháp đổi biến số tính các tích phân sau:
a) \(\int_0^1 {\sqrt {x + 1} dx} .\)
b) \(\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} .\)
c) \(\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dx.\)
d) \(\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx.} \)
e) \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} .\)
f) \(\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx.\)
Lời giải:
a) Đặt \(u = \sqrt {x + 1} \) \( \Rightarrow {u^2} = x + 1\) \( \Rightarrow 2udu = dx.\)
\(x = 0\) \( \Rightarrow u = 1\), \(x = 1\) \( \Rightarrow u = \sqrt 2 .\)
Suy ra: \(\int_0^1 {\sqrt {x + 1} dx} \) \( = \int_1^{\sqrt 2 } u .2udu\) \( = \left. {2.\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 }\) \( = \frac{{4\sqrt 2 }}{3} – \frac{2}{3}.\)
b) Tính \(\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} .\)
Đặt \(u = \tan x\) \( \Rightarrow du = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}dx.\)
\(x = 0\) \( \Rightarrow u = 0\), \(x = \frac{\pi }{4}\) \( \Rightarrow u = 1.\)
Vậy \(\int_0^{\pi /4} {\frac{{\tan x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} \) \( = \int_0^1 u .du\) \( = \left. {\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{2}.\)
c) Đặt \(u = 1 + {t^4}\) \( \Rightarrow du = 4{t^3}dt\) \( \Rightarrow {t^3}dt = \frac{{du}}{4}.\)
\(t = 0\) \( \Rightarrow u = 1\), \(t = 1\) \( \Rightarrow u = 2.\)
Suy ra: \(\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt\) \( = \int_1^2 {{u^3}} \frac{{du}}{4}\) \( = \left. {\left( {\frac{1}{4}.\frac{{{u^4}}}{4}} \right)} \right|_1^2\) \( = \frac{1}{{16}}(16 – 1) = \frac{{15}}{{16}}.\)
Vậy \(\int_0^1 {{t^3}} {\left( {1 + {t^4}} \right)^3}dt = \frac{{15}}{{16}}.\)
d) Tính \(\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx} .\)
Đặt \(u = {x^2} + 4\) \( \Rightarrow xdx = \frac{{du}}{2}\), \(x = 0\) \( \Rightarrow u = 4\), \(x = 1\) \( \Rightarrow u = 5.\)
Suy ra: \(\int_0^1 {\frac{{5x}}{{{{\left( {{x^2} + 4} \right)}^2}}}dx} \) \( = \frac{5}{2}\int_4^5 {\frac{{du}}{{{u^2}}}} \) \( = \frac{5}{2}\int_4^5 {{u^{ – 2}}} du\) \( = \left. {\frac{5}{2}.\frac{{{u^{ – 1}}}}{{ – 1}}} \right|_4^5.\)
\( = \left. {\frac{{ – 5}}{2}.\frac{1}{u}} \right|_4^5\) \( = \frac{5}{2}\left( {\frac{1}{4} – \frac{1}{5}} \right) = \frac{1}{8}.\)
e) Tính \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} .\)
Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \) \( \Leftrightarrow {u^2} = {x^2} + 1\) \( \Leftrightarrow udu = xdx.\)
\(x = 0\) \( \Rightarrow u = 1\), \(x = \sqrt 3 \) \( \Rightarrow u = 2.\)
Vậy \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{4x}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \) \( = 4\int_1^2 {\frac{{udu}}{u}} = 4\int_1^2 d u\) \( = \left. {4u} \right|_1^2 = 4.\)
f) Tính \(\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx.\)
Đặt \(u = 1 – \cos 3x\) \( \Rightarrow \frac{1}{3}du = \sin 3xdx.\)
\(x = 0\) \( \Rightarrow u = 0\), \(x = \frac{\pi }{6}\) \( \Rightarrow u = 1.\)
Vậy \(\int_0^{\pi /6} {(1 – \cos 3x)} \sin 3xdx\) \( = \frac{1}{3}\int_0^1 {udu} \) \( = \left. {\frac{1}{3}\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^1 = \frac{1}{6}.\)
Bài 18. Dùng phương pháp tích phân từng phần để tính các tích phân sau:
a) \(\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx.\)
b) \(\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} .\)
c) \(\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx.\)
d) \(\int_0^{\pi /2} {x\cos xdx} .\)
Lời giải:
a) Tính \(\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = {x^5}dx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = \frac{{{x^6}}}{6}}
\end{array}} \right..\)
Suy ra \(\int_1^2 {{x^5}} \ln xdx\) \( = \left. {\frac{{{x^6}.\ln x}}{6}} \right|_1^2 – \int_1^2 {\frac{{{x^6}}}{6}} .\frac{1}{x}dx\) \( = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \int_1^2 {\frac{{{x^5}}}{6}dx} .\)
\( = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \left. {\left( {\frac{{{x^6}}}{{36}}} \right)} \right|_1^2\) \( = \frac{{32}}{3}\ln 2 – \frac{7}{4}.\)
b) Tính \(\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} .\)
Đặt \(u = x + 1\), \(dv = {e^x}dx\) \( \Rightarrow du = dx\), \(v = {e^x}.\)
Suy ra \(\int_0^1 {(x + 1){e^x}dx} \) \( = \left. {{e^x}(x + 1)} \right|_0^1\) \( – \int_0^1 {{e^x}} dx\) \( = 2e – 1 – \left. {{e^x}} \right|_0^1\) \( = 2e – 1 – (e – 1) = e.\)
c) Tính \(\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx.\)
Đặt \(u = \cos x\), \(dv = {e^x}dx\) \( \Rightarrow du = – \sin xdx\), \(v = {e^x}.\)
Suy ra \(\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx\) \( = \left. {{e^x}\cos x} \right|_0^\pi + \int_0^\pi {{e^x}} \sin xdx\) \( = – {e^\pi } – 1 + {I_1}.\)
Tính \({I_1} = \int_0^\pi {{e^x}} \sin xdx.\)
Đặt \({u_1} = \sin x\), \(d{v_1} = {e^x}dx\) \( \Rightarrow d{u_1} = \cos xdx\), \({v_1} = {e^x}.\)
Suy ra \({I_1} = \left. {{e^x}.\sin x} \right|_0^\pi – \int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx\) \( = – I.\)
Vậy \(I = – \left( {{e^\pi } + 1} \right) – I\) \( \Leftrightarrow 2I = – \left( {{e^\pi } + 1} \right).\)
Vậy \(\int_0^\pi {{e^x}} \cos xdx = – \frac{{{e^\pi } + 1}}{2}.\)
d) Đặt \(u = x\), \(dv = \cos xdx\) \( \Rightarrow du = dx\), \(v = \sin x.\)
Suy ra: \(\int_0^{\pi /2} x \cos xdx\) \( = \left. {x.\sin x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}} – \int_0^{\frac{\pi }{2}} {\sin xdx} \) \( = \frac{\pi }{2} + \left. {(\cos x)} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \( = \frac{\pi }{2} – 1.\)
Vậy \(\int_0^{\pi /2} x \cos xdx = \frac{\pi }{2} – 1.\)
LUYỆN TẬP
Bài 19. Tính:
a) \(\int_0^1 {\sqrt {{t^5} + 2t} } \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt.\)
b) \(\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx.\)
Lời giải:
a) Đặt \(\sqrt {{t^5} + 2t} = u\) \( \Rightarrow {u^2} = {t^5} + 2t\) \( \Rightarrow 2udu = \left( {5{t^4} + 2} \right)dt.\)
Với \(t = 0\) \( \Rightarrow u = 0\), \(t = 1\) \( \Rightarrow u = \sqrt 3 .\)
Suy ra \(\int_0^1 {\sqrt {{t^5} + 2t} } \left( {2 + 5{t^4}} \right)dt\) \( = \int_0^{\sqrt 3 } 2 {u^2}du\) \( = \left. {\frac{2}{3}{u^3}} \right|_0^{\sqrt 3 } = 2\sqrt 3 .\)
b) Ta có: \(\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx\) \( = \frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} x \sin 2xdx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \sin 2xdx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = – \frac{1}{2}\cos 2x}
\end{array}} \right..\)
Suy ra \(\frac{1}{2}\int_0^{\pi /2} x \sin 2xdx\) \( = – \left. {\frac{1}{4}x\cos 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{2}}\) \( + \frac{1}{4}\int_0^{\pi /2} {\cos 2xdx} .\)
\( = – \frac{1}{4}\left( { – \frac{\pi }{2} – 0} \right)\) \( + \left. {\frac{1}{4}.\frac{1}{2}\sin 2x} \right|_0^{\pi /2}\) \( = \frac{\pi }{8}.\)
Vậy \(\int_0^{\pi /2} x \sin x\cos xdx = \frac{\pi }{8}.\)
Bài 20. Tính:
a) \(\int_0^\pi 5 {(5 – 4\cos t)^{\frac{1}{4}}}\sin tdt.\)
b) \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}dx}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}} .\)
Lời giải:
a) Đặt \(5 – 4\cos t = u\) \( \Rightarrow du = 4\sin tdt\) \( \Rightarrow \sin tdt = \frac{{du}}{4}.\)
\(t = 0\) \( \Rightarrow u = 1\), \(t = \pi \) \( \Rightarrow u = 9.\)
Suy ra \(\int_0^\pi 5 {(5 – 4\cos t)^{\frac{1}{4}}}\sin tdt\) \( = \frac{5}{4}\int_1^9 {{u^{1/4}}} du\) \( = \left. {\frac{5}{4}.\frac{{{u^{\frac{1}{4} + 1}}}}{{\frac{1}{4} + 1}}} \right|_1^9\) \( = \left. {{u^{\frac{5}{4}}}} \right|_1^9 = {9^{\frac{5}{4}}} – 1.\)
b) Đặt \(u = \sqrt {{x^2} + 1} \) \( \Rightarrow {u^2} = {x^2} + 1\) \( \Rightarrow {x^2} = {u^2} – 1.\)
\( \Rightarrow udu = xdx.\)
Đổi cận: \({x = 0 \Rightarrow u = 1}\), \({x = \sqrt 3 \Rightarrow u = 2.}\)
Suy ra \(\int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^3}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}dx} \) \( = \int_0^{\sqrt 3 } {\frac{{{x^2}}}{{\sqrt {{x^2} + 1} }}xdx} .\)
\( = \int_1^2 {\frac{{{u^2} – 1}}{u}udu} \) \( = \int_1^2 {\left( {{u^2} – 1} \right)du} \) \( = \left. {\left( {\frac{{{u^3}}}{3} – u} \right)} \right|_1^2.\)
\({ = \frac{8}{3} – 2 – \left( {\frac{1}{3} – 1} \right)}\) \({ = \frac{4}{3}.}\)
Bài 21. Giả sử \(F(x)\) là một nguyên hàm của hàm \(\frac{{\sin x}}{x}\) trên \((0; + \infty ).\) Khi đó \(\int_1^3 {\frac{{\sin 2x}}{x}dx} \) là:
(A) \(F(3) – F(1).\)
(B) \(F(6) – F(2).\)
(C) \(F(4) – F(2).\)
(D) \(F(6) – F(4).\)
Lời giải:
Đáp án (B) vì \(\frac{{\sin x}}{x}\) có nguyên hàm là \(F(x).\)
Suy ra: \(\frac{{2\sin 2x}}{{2x}}\) có nguyên hàm là \(F(2x).\)
Suy ra: \(\int_1^3 {\frac{{\sin 2x}}{x}dx} = \left. {F(2x)} \right|_1^3\) \( = F(6) – F(2).\)
Bài 22. Chứng minh rằng:
a) \(\int_0^1 f (x)dx = \int_0^1 f (1 – x)dx.\)
b) \(\int_{ – 1}^1 f (x)dx\) \( = \int_0^1 {[f(x) + f( – x)]dx} .\)
Lời giải:
a) Xét \(VT = \int_0^1 f (x)dx.\)
Đặt \(x = 1 – t\) \( \Rightarrow dx = – dt\), \(x = 0 \Rightarrow t = 1\), \(x = 1 \Rightarrow t = 0.\)
Suy ra \(VT = \int_1^0 f (1 – t)( – dt)\) \( = \int_0^1 f (1 – t)dt.\)
Mà \(\int_a^b f (x)dx = \int_a^b f (t)dt.\)
Suy ra: \(VT = \int_0^1 f (1 – x)dx = VP.\)
b) \(VT = \int_{ – 1}^1 f (x)dx\) \( = \int_{ – 1}^0 f (x)dx + \int_0^1 f (x)dx\) \((*).\)
Xét \(I = \int_{ – 1}^0 f (x)dx.\)
Đặt \(t = – x\) \( \Rightarrow dx = – dt\), \(x = – 1 \Rightarrow t = 1\), \(x = 0 \Rightarrow t = 0.\)
Suy ra \(I = \int_1^0 f ( – t)( – dt)\) \( = \int_0^1 f ( – t)dt\) \( = \int_0^1 f ( – x)dx.\)
Thay vào \((*)\) ta được:
\(VT = \int_0^1 f (x)dx + \int_0^1 f ( – x)dx\) \( = \int_0^1 {(f(} x) + f( – x))dx = VP.\)
Bài 23. Cho \(\int_0^1 f (x)dx = 3.\) Tính \(\int_{ – 1}^0 f (x)dx\) trong các trường hợp sau:
a) \(f(x)\) là hàm số lẻ.
b) \(f(x)\) là hàm số chẵn.
Lời giải:
a) Nếu \(f(x)\) là hàm số lẻ thì: \(\int_{ – 1}^1 f (x)dx = 0.\)
\( \Leftrightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx + \int_0^1 f (x)dx = 0\) \( \Leftrightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx + 3 = 0\) \( \Rightarrow \int_{ – 1}^0 f (x)dx = – 3.\)
b) Nếu \(f(x)\) là hàm số chẵn thì: \(\int_{ – 1}^0 f (x)dx = \int_0^1 f (x)dx = 3.\)
Bài 24. Tính các tích phân sau:
a) \(\int_1^2 {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx.\)
b) \(\int_1^3 {\frac{1}{x}} {(\ln x)^2}dx.\)
c) \(\int_0^{\sqrt 3 } x \sqrt {1 + {x^2}} dx.\)
d) \(\int_0^1 {{x^2}} {e^{3{x^3}}}dx.\)
e) \(\int_0^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}dx.} \)
Lời giải:
a) Tính \(I = \int_1^2 {{x^2}} {e^{{x^3}}}dx.\)
Đặt \(u = {x^3}\) \( \Rightarrow du = 3{x^2}dx\) \( \Leftrightarrow {x^2}dx = \frac{{du}}{3}.\)
Với \(x = 1 \Rightarrow u = 1\), \(x = 2 \Rightarrow u = 8.\)
Suy ra: \(I = \frac{1}{3}\int_1^8 {{e^u}} du\) \( = \left. {\frac{1}{3}{e^u}} \right|_1^8 = \frac{{{e^8} – e}}{3}.\)
b) Tính \(J = \int_1^3 {\frac{1}{x}} {(\ln x)^2}dx.\)
Đặt \(u = \ln x\) \( \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\), \(x = 1 \Rightarrow u = 0\), \(x = 3 \Rightarrow u = \ln 3.\)
Suy ra \(J = \int_0^{\ln 3} {{u^2}} du\) \( = \left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_0^{\ln 3} = \frac{{{{(\ln 3)}^3}}}{3}.\)
c) Đặt \(u = \sqrt {1 + {x^2}} \) \( \Rightarrow {u^2} = 1 + {x^2}\) \( \Leftrightarrow udu = xdx.\)
\(x = 0 \Rightarrow u = 1\), \(x = \sqrt 3 \Rightarrow u = 2.\)
Suy ra \(\int_0^2 {{u^2}} du = \left. {\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^2 = \frac{7}{3}.\)
Vậy \(\int_0^{\sqrt 3 } x \sqrt {1 + {x^2}} dx = \frac{7}{3}.\)
d) Tính \(K = \int_0^1 {{x^2}} {e^{3{x^3}}}dx.\)
Đặt \(u = 3{x^3}\) \( \Rightarrow du = 9{x^2}dx\) \( \Rightarrow {x^2}dx = \frac{{du}}{9}\), \(x = 0 \Rightarrow u = 0\), \(x = 1 \Rightarrow u = 3.\)
Suy ra: \(K = \int_0^3 {{e^u}} \frac{{du}}{9}\) \( = \left. {\frac{1}{9}{e^u}} \right|_0^3 = \frac{1}{9}\left( {{e^3} – 1} \right).\)
e) Tính \(L = \int_0^{\pi /2} {\frac{{\cos x}}{{1 + \sin x}}dx} .\)
Đặt \(u = 1 + \sin x\) \( \Rightarrow \cos xdx = du\), \(x = 0 \Rightarrow u = 1\), \(x = \frac{\pi }{2} \Rightarrow u = 2.\)
Suy ra \(L = \int_1^2 {\frac{{du}}{u}} \) \( = \left. {\ln |u|} \right|_1^2 = \ln |2| = \ln 2.\)
Bài 25. Tính các tích phân sau:
a) \(\int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx.\)
b) \(\int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}} dx.\)
c) \(\int_0^{\pi /2} {{x^2}} \cos xdx.\)
d) \(\int_0^1 {{x^2}} \sqrt {{x^3} + 1} dx.\)
e) \(\int_0^e {{x^2}} \ln xdx.\)
Lời giải:
a) Tính \(I = \int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \cos 2xdx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = \frac{1}{2}\sin 2x}
\end{array}} \right..\)
Suy ra \(I = \int_0^{\pi /4} x \cos 2xdx\) \( = \left. {\frac{1}{2}x.\sin 2x} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\) \( – \frac{1}{2}\int_0^{\pi /4} {\sin } 2xdx.\)
\( = \frac{\pi }{8} + \left. {\frac{1}{4}(\cos 2x)} \right|_0^{\frac{\pi }{4}}\) \( = \frac{\pi }{8} – \frac{1}{4}.\)
b) Xét \(J = \int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} .\)
Đặt \(u = \ln (2 – x)\) \( \Rightarrow du = – \frac{1}{{2 – x}}dx.\)
\(x = 0 \Rightarrow u = \ln 2\), \(x = 1 \Rightarrow u = 0.\)
Suy ra \(J = – \int_{\ln 2}^0 {udu} \) \( = \int_0^{\ln 2} {udu} = \left. {\frac{{{u^2}}}{2}} \right|_0^{\ln 2}\) \( = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}.\)
Vậy \(\int_0^1 {\frac{{\ln (2 – x)}}{{2 – x}}dx} = \frac{{{{\ln }^2}2}}{2}.\)
c) Đặt \(K = \int_0^{\pi /2} {{x^2}} \cos xdx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2}}\\
{dv = \cos xdx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2xdx}\\
{v = \sin x}
\end{array}} \right..\)
Suy ra \(K = \left. {{x^2}.\sin x} \right|_0^{\pi /2}\) \( – 2\int_0^{\pi /2} x \sin xdx\) \( = \frac{{{\pi ^2}}}{4} – 2{K_1}.\)
Tính \({K_1} = \int_0^{\pi /2} x \sin xdx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x}\\
{d{v_1} = \sin xdx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\\
{{v_1} = – \cos x}
\end{array}} \right..\)
Suy ra \({K_1} = – \left. {x\cos x} \right|_0^{\pi /2} + \int_0^{\pi /2} {\cos xdx} \) \( = \left. {\sin x} \right|_0^{\pi /2} = 1.\)
Vậy \(K = \frac{{{\pi ^2}}}{4} – 2.\)
d) Đặt \(u = \sqrt {{x^3} + 1} \) \( \Rightarrow {u^2} = {x^3} + 1\) \( \Leftrightarrow 2udu = 3{x^2}dx.\)
\(x = 0\) \( \Rightarrow u = 1\), \(x = 1\) \( \Rightarrow u = \sqrt 2 .\)
Suy ra \(\int_0^1 {{x^2}} \sqrt {{x^3} + 1} dx\) \( = \frac{2}{3}\int_1^{\sqrt 2 } {{u^2}} du\) \( = \left. {\frac{2}{3}.\frac{{{u^3}}}{3}} \right|_1^{\sqrt 2 }\) \( = \frac{2}{9}(2\sqrt 2 – 1).\)
e) Xét \(L = \int_0^e {{x^2}} \ln xdx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = {x^2}dx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = \frac{{{x^3}}}{3}}
\end{array}} \right..\)
Suy ra \(L = \left. {\frac{{{x^3}}}{3}\ln x} \right|_0^e – \int_0^e {{x^2}} \frac{{dx}}{3}\) \( = \frac{{{e^3}}}{3} – \left. {\frac{1}{9}{x^3}} \right|_0^e = \frac{2}{9}{e^3}.\)
Vậy \(\int_0^e {{x^2}} \ln xdx = \frac{2}{9}{e^3}.\)
