Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Một số phương pháp tìm nguyên hàm.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 5. Dùng phương pháp đổi biến số, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}.\)
b) \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}.\)
c) \(f(x) = x\sqrt[4]{{1 – {x^2}}}.\)
d) \(f(x) = \frac{1}{{\sqrt x {{(1 + \sqrt x )}^2}}}.\)
Lời giải:
a) \(f(x) = \frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}\) \( \Rightarrow \int f (x)dx = \int {\frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} .\)
Đặt \(u = 1 – {x^3}\) thì \(du = – 3{x^2}dx\) nên:
\(\int {\frac{{9{x^2}}}{{\sqrt {1 – {x^3}} }}dx} \) \( = \int {\frac{{ – 3du}}{{\sqrt u }}} \) \( = – 3\int {{u^{ – \frac{1}{2}}}} du\) \( = – 6\sqrt u + C\) \( = – 6\sqrt {1 – {x^3}} + C.\)
b) \(\int f (x)dx\) \( = \int {\frac{1}{{\sqrt {5x + 4} }}dx} \) \( = \frac{1}{5}\int {\frac{{d(5x + 1)}}{{{{(5x + 1)}^{\frac{1}{2}}}}}} \) \( = \frac{1}{5}\int {{{(5x + 1)}^{ – \frac{1}{2}}}} d(5x + 1).\)
\( = \frac{1}{5}2.{(5x + 1)^{\frac{1}{2}}} + C\) \( = \frac{2}{5}\sqrt {5x + 4} + C.\)
c) \(\int f (x)dx = \int x \sqrt[4]{{1 – {x^2}}}dx.\)
Đặt \(u = 1 – {x^2}\) thì \(du = – 2xdx.\)
Nên \(\int f (x)dx\) \( = – \frac{1}{2}\int {\sqrt[4]{u}du} \) \( = – \frac{1}{2}\int {{u^{\frac{1}{4}}}} du\) \( = – \frac{2}{5}{u^{\frac{5}{4}}} + C\) \( = – \frac{2}{5}\sqrt {{{\left( {1 – {x^2}} \right)}^{\frac{5}{4}}}} + C.\)
d) \(\int f (x)dx\) \( = \int {\frac{1}{{\sqrt x {{(1 + \sqrt x )}^2}}}dx} .\)
Đặt \(u = 1 + \sqrt x \) thì \(du = – \frac{1}{{2\sqrt x }}dx.\)
Nên \(\int f (x)dx\) \( = 2\int {\frac{{du}}{{{u^2}}}} \) \( = 2\int {{u^{ – 2}}} du\) \( = – 2{u^{ – 1}} + C\) \( = \frac{{ – 2}}{{1 + \sqrt x }} + C.\)
Bài 6. Dùng phương pháp lấy nguyên hàm từng phần, tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = x\sin \frac{x}{2}.\)
b) \(f(x) = {x^2}\cos x.\)
c) \(f(x) = x.{e^x}.\)
d) \(f(x) = {x^3}\ln (2x).\)
Lời giải:
a) \(\int x \sin \frac{x}{2}dx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \sin \frac{x}{2}dx}
\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = – 2\cos \frac{x}{2}}
\end{array}} \right..\)
Cho nên: \(\int x \sin \frac{x}{2}dx\) \( = – 2x\cos \frac{x}{2} + \int 2 \cos \frac{x}{2}dx.\)
\( = – 2x\cos \frac{x}{2} + 4\sin \frac{x}{2} + C.\)
b) \(\int {{x^2}} \cos xdx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} = u}\\
{dv = \cos xdx}
\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 2xdx}\\
{v = \sin x}
\end{array}} \right..\)
Cho nên: \(\int {{x^2}} \cos xdx\) \( = {x^2}\sin x – 2\int x \sin xdx.\)
Lại đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x}\\
{d{v_1} = \sin xdx}
\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\\
{{v_1} = – \cos x}
\end{array}} \right..\)
Cho nên: \(\int {{x^2}} \cos xdx\) \( = {x^2}\sin x\) \( – 2\left[ { – x\cos x + \int {\cos xdx} } \right].\)
\( = {x^2}\sin x + 2x\cos x – 2\sin x + C.\)
c) \(\int {x{e^x}} dx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = {e^x}dx}
\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right..\)
Cho nên: \(\int {x{e^x}} dx\) \( = x{e^x} – \int {{e^x}} dx\) \( = x{e^x} – {e^x} + C.\)
d) \(\int {{x^3}} \ln (2x)dx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln (2x)}\\
{dv = {x^3}dx}
\end{array}} \right.\) thì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = \frac{{{x^4}}}{4}}
\end{array}} \right..\)
Cho nên: \(\int {{x^3}} \ln (2x)dx\) \( = \frac{{{x^4}}}{4}\ln (2x) – \int {\frac{{{x^4}}}{4}} .\frac{{dx}}{x}\) \( = \frac{{{x^4}}}{4}\ln (2x) – \frac{{{x^4}}}{{16}} + C.\)
LUYỆN TẬP
Bài 7. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = 3x\sqrt {7 – 3{x^2}} .\)
b) \(f(x) = \cos (3x + 4).\)
c) \(f(x) = \frac{1}{{{{\cos }^2}(3x + 2)}}.\)
d) \(f(x) = {\sin ^5}\frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}.\)
Lời giải:
a) Xét \(I = \int 3 x\sqrt {7 – 3{x^2}} dx.\)
Đặt \(t = \sqrt {7 – 3{x^2}} \) \( \Rightarrow {t^2} = 7 – 3{x^2}\) \( \Rightarrow tdt = – 3xdx\) \( \Leftrightarrow 3xdx = – tdt.\)
Suy ra: \(I = – \int t .tdt = – \frac{{{t^3}}}{3} + C.\)
Vậy \(I = \int 3 x\sqrt {7 – 3{x^2}} dx\) \( = – \frac{{\sqrt {{{\left( {7 – 3{x^2}} \right)}^3}} }}{3} + C.\)
b) Xét \(J = \int {\cos } (3x + 4)dx.\)
Đặt \(t = 3x + 4\) \( \Rightarrow dx = \frac{1}{3}dt.\) Suy ra: \(J = \frac{1}{3}\int {\cos t} dt\) \( = \frac{1}{3}\sin t + C.\)
Vậy nguyên hàm của hàm \(f(x) = \cos (3x + 4)\) là \(F(x) = \frac{1}{3}\sin (3x + 4) + C.\)
c) Xét \(K = \int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}(3x + 2)}}} .\)
Đặt \(t = 3x + 2\) \( \Rightarrow dx = \frac{1}{3}dt.\) Suy ra: \(K = \frac{1}{3}\int {\frac{{dt}}{{{{\cos }^2}t}}} \) \( = \frac{1}{3}\tan t + C.\)
Vậy \(\int {\frac{{dx}}{{{{\cos }^2}(3x + 2)}}} \) \( = \frac{1}{3}\tan (3x + 2) + C.\)
d) Xét \(L = \int {{{\sin }^5}} \frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}dx\) \( = \int {{{\left( {1 – {{\cos }^2}\frac{x}{3}} \right)}^2}} \cos \frac{x}{3}.\sin \frac{x}{3}dx.\)
Đặt \(t = \cos \frac{x}{3}\) \( \Rightarrow dt = – \frac{1}{3}\sin \frac{x}{3}dx\) \( \Rightarrow \sin \frac{x}{3}dx = – 3dt.\)
Suy ra: \(L = \int {{{\left( {1 – {t^2}} \right)}^2}} t.( – 3dt)\) \( = – 3\int {\left( {{t^5} – 2{t^3} + t} \right)dt} \) \( = – \frac{1}{3}{t^6} – \frac{1}{2}{t^4} + \frac{{{t^2}}}{2} + C.\)
Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x) = {\sin ^5}\frac{x}{3}\cos \frac{x}{3}\) là:
\(F(x) = – \frac{1}{3}{\cos ^6}\frac{x}{3} – \frac{1}{2}{\cos ^4}\frac{x}{3} + \frac{1}{2}{\cos ^2}\frac{x}{3} + C.\)
Bài 8. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {x^2}{\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^5}.\)
b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}.\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}.\)
c) \(f(x) = {x^3}{e^x}.\)
d) \(f(x) = {e^{\sqrt {3x – 9} }}.\)
Lời giải:
a) Xét \(I = \int {{x^2}} {\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^5}dx.\)
Đặt \(t = \frac{{{x^3}}}{{18}} – 1\) \( \Rightarrow dt = \frac{1}{6}{x^2}dx\) \( \Leftrightarrow {x^2}dx = 6dt.\)
Suy ra \(I = \int {{t^5}} .6dt = {t^6} + C.\)
Vậy \(I = \int {{x^2}} {\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^5}dx\) \( = {\left( {\frac{{{x^3}}}{{18}} – 1} \right)^6} + C.\)
b) Xét \(J = \int {\frac{1}{{{x^2}}}} .\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}dx\) \( = \frac{1}{2}\int {\frac{1}{{{x^2}}}} .\sin \frac{2}{x}dx.\)
Đặt \(t = \frac{2}{x}\) \( \Rightarrow dt = – \frac{2}{{{x^2}}}dx\) \( \Leftrightarrow \frac{{dx}}{{{x^2}}} = – \frac{1}{2}dt.\)
Suy ra \(J = – \frac{1}{4}\int {\sin tdt} \) \( = \frac{1}{4}\cos t + C.\)
Vậy nguyên hàm của hàm số \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}}.\sin \frac{1}{x}\cos \frac{1}{x}\) là \(F(x) = \frac{1}{4}\cos \frac{2}{x} + C.\)
c) Xét \(L = \int {{x^3}} .{e^x}dx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^3}}\\
{dv = {e^x}dx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = 3{x^2}dx}\\
{v = {e^x}}
\end{array}} \right..\)
Suy ra \(L = {x^3}.{e^x} – 3\int {{x^2}} .{e^x}dx.\)
Tương tự như trên. Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = {x^2}}\\
{d{v_1} = {e^x}dx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = 2xdx}\\
{{e^x} = {v_1}}
\end{array}} \right..\)
\( \Rightarrow L = {x^3}.{e^x} – 3\left( {{x^2}.{e^x}} \right) + 6\int {x{e^x}} dx\) \( = {x^3}.{e^x} – 3{x^2}.{e^x} + 6x.{e^x} – 6{e^x} + C.\)
\( = {e^x}\left( {{x^3} – 3{x^2} + 6x – 6} \right) + C.\)
d) Xét \(K = \int {{e^{\sqrt {3x – 9} }}} dx.\)
Đặt \(t = \sqrt {3x – 9} \) \( \Rightarrow {t^2} = 3x – 9\) \( \Rightarrow 2tdt = 3dx\) \( \Rightarrow K = \frac{2}{3}\int t .{e^t}dt.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = t}\\
{dv = {e^t}dt}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dt}\\
{v = {e^t}}
\end{array}} \right..\)
Suy ra \(K = \frac{2}{3}t.{e^t} – \frac{2}{3}\int {{e^t}} dt\) \( = \frac{2}{3}t.{e^t} – \frac{2}{3}{e^t} + C.\)
Vậy nguyên hàm của \(f(x) = {e^{\sqrt {3x – 9} }}\) là \(F(x) = \frac{2}{3}\sqrt {3x – 9} .{e^{\sqrt {3x – 9} }}\) \( – \frac{2}{3}{e^{\sqrt {3x – 9} }} + C.\)
Bài 9. Tìm nguyên hàm của các hàm số:
a) \(f(x) = {x^2}\cos 2x.\)
b) \(f(x) = \sqrt x .\ln x.\)
c) \(f(x) = {\sin ^4}x.\cos x.\)
d) \(f(x) = x\cos \left( {{x^2}} \right).\)
Lời giải:
a) Xét \(T = \int {{x^2}} \cos 2xdx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = {x^2}}\\
{dv = \cos 2xdx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{dv = 2xdx}\\
{v = \frac{1}{2}\sin 2x}
\end{array}} \right..\)
Suy ra: \(I = {x^2}\frac{1}{2}\sin x – \int x .\sin 2xdx\) \( = \frac{{{x^2}\sin 2x}}{2} – \int x .\sin 2xdx.\)
Tính \({I_1} = \int x .\sin 2xdx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{u_1} = x}\\
{d{v_1} = \sin 2xdx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{d{u_1} = dx}\\
{{v_1} = – \frac{1}{2}\cos 2x}
\end{array}} \right..\)
\( \Rightarrow {I_1} = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}\int {\cos 2xdx} \) \( = – \frac{1}{2}x\cos 2x + \frac{1}{2}.\frac{1}{2}\sin 2x + C.\)
Vậy \(\int {{x^2}} .\cos 2xdx\) \( = \frac{{{x^2}.\sin 2x}}{2} – \frac{1}{2}x\cos 2x\) \( + \frac{1}{4}\sin 2x + C.\)
b) Xét \(J = \int {\sqrt x } \ln xdx.\)
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \ln x}\\
{dv = \sqrt x dx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = \frac{1}{x}dx}\\
{v = \frac{2}{3}.{x^{\frac{3}{2}}}}
\end{array}} \right..\)
Suy ra: \(J = \frac{2}{3}.{x^{\frac{3}{2}}}.\ln x – \frac{2}{3}\int {\frac{1}{x}} (x\sqrt x )dx\) \( = \frac{2}{3}x\sqrt x \ln x – \frac{2}{3}\int {\sqrt x } dx.\)
\( = \frac{2}{3}x\sqrt x \ln x – \frac{2}{3}\int {{x^{\frac{1}{2}}}} dx\) \( = \frac{2}{3}x\sqrt x \ln x – \frac{2}{3}\frac{{x\sqrt x }}{{\frac{3}{2}}} + C.\)
\( = \frac{2}{3}x\sqrt x {\left( {\ln x – \frac{2}{3}} \right)^2} + C.\)
c) Xét \(L = \int {{{\sin }^4}} x.\cos xdx.\)
Đặt \(t = \sin x\) \( \Rightarrow dt = \cos xdx.\)
Suy ra: \(L = \int {{t^4}} dt = \frac{{{t^5}}}{5} + C.\)
Vậy \(L = \int {{{\sin }^4}} x\cos xdx\) \( = \frac{{{{\sin }^5}x}}{5} + C.\)
d) Xét \(K = \int x \cos \left( {{x^2}} \right)dx.\)
Đặt \(t = {x^2}\) \( \Rightarrow dt = 2xdx\) \( \Leftrightarrow xdx = \frac{{dt}}{2}.\)
Suy ra: \(K = \frac{1}{2}\int {\cos tdt} \) \( = \frac{1}{2}\sin t + C.\)
Vậy \(K = \int x \cos \left( {{x^2}} \right)dx\) \( = \frac{1}{2}\sin {x^2} + C.\)
