Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Nguyên hàm.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 1. Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
a) \(f(x) = 3{x^2} + \frac{x}{2}.\)
b) \(f(x) = 2{x^3} – 5x + 7.\)
c) \(f(x) = \frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}.\)
d) \(f(x) = {x^{ – \frac{1}{3}}}.\)
e) \(f(x) = {10^{2x}}.\)
Lời giải:
a) Ta có: \(\int {\left( {3{x^2} + \frac{x}{2}} \right)dx} \) \( = \int 3 {x^2}dx + \int {\frac{x}{2}} dx\) \( = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C.\)
Vậy nguyên hàm của hàm số: \(f(x) = 3{x^2} + \frac{x}{2}\) là \(F(x) = {x^3} + \frac{{{x^2}}}{4} + C.\)
b) Tương tự câu a ta có: \(\int {\left( {2{x^3} – 5x + 7} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^4}}}{2} – \frac{5}{2}{x^2} + 7x + C.\)
c) Xét \(\int {\left( {\frac{1}{{{x^2}}} – {x^2} – \frac{1}{3}} \right)dx} \) \( = \int {\left( {{x^{ – 2}} – {x^2} – \frac{1}{3}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{ – 1}}}}{{ – 1}} – \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{3}x + C.\)
\( = – \frac{1}{x} – \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{1}{3}x + C.\)
d) Xét: \(\int {\left( {{x^{ – \frac{1}{3}}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{ – \frac{1}{3} + 1}}}}{{ – \frac{1}{3} + 1}}\) \( = \frac{{{x^{\frac{2}{3}}}}}{{\frac{2}{3}}} + C\) \( = \frac{3}{2}\sqrt[3]{{{x^2}}} + C.\)
e) Ta có: \(\int 1 {0^{2x}}dx = \frac{{{{10}^{2x}}}}{{2.\ln 10}} + C.\)
Bài 2. Tìm:
a) \(\int {(\sqrt x + \sqrt[3]{x})dx} .\)
b) \(\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}dx} .\)
c) \(\int 4 {\sin ^2}xdx.\)
d) \(\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} .\)
Lời giải:
a) Ta có: \(\int {(\sqrt x + \sqrt[3]{x})dx} \) \( = \int {\left( {{x^{1/2}} + {x^{1/3}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{\frac{1}{2} + 1}}}}{{\frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{\frac{1}{3} + 1}}}}{{\frac{1}{3} + 1}} + C.\)
\( = 2\frac{{x\sqrt x }}{3} + \frac{3}{4}x\sqrt[3]{x} + C.\)
b) Ta có: \(\int {\frac{{x\sqrt x + \sqrt x }}{{{x^2}}}dx} \) \( = \int {\left( {\frac{{\sqrt x }}{x} + \frac{{\sqrt x }}{{{x^2}}}} \right)dx} \) \( = \int {\left( {{x^{ – 1}}.{x^{1/2}} + {x^{ – 2}}.{x^{1/2}}} \right)dx} .\)
\( = \int {\left( {{x^{ – 1/2}} + {x^{ – 3/2}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^{ – \frac{1}{2} + 1}}}}{{ – \frac{1}{2} + 1}} + \frac{{{x^{ – \frac{3}{2} + 1}}}}{{ – \frac{3}{2} + 1}} + C\) \( = 2\sqrt x – 2\frac{1}{{\sqrt[3]{x}}} + C.\)
c) Ta có: \(\int 4 {\sin ^2}xdx\) \( = 2\int {(1 – \cos 2x)dx} \) \( = 2\left( {x – \frac{1}{2}\sin 2x} \right) + C\) \( = 2x – \sin 2x + C.\)
d) Ta có: \(\int {\frac{{1 + \cos 4x}}{2}dx} \) \( = \frac{1}{2}\int {(1 + \cos 4x)dx} \) \( = \frac{1}{2}\left( {x + \frac{1}{4}\sin 4x} \right) + C.\)
\( = \frac{1}{2}x + \frac{1}{8}\sin 4x + C.\)
Bài 3. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:
Nguyên hàm của hàm \(y = x.\sin x\) là:
(A) \({x^2}\sin \frac{x}{2} + C.\)
(B) \( – x.\cos x + C.\)
(C) \( – x \cdot \cos x + \sin x + C.\)
Lời giải:
Khẳng định (C). Có thể dùng nguyên hàm từng phần:
Đặt \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = x}\\
{dv = \sin xdx}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{du = dx}\\
{v = – \cos x}
\end{array}} \right..\)
\( \Rightarrow \int x \sin xdx\) \( = – x\cos x + \int {\cos xdx} \) \( = – x\cos x + \sin x + C.\)
Bài 4. Khẳng định sau đúng hay sai:
Nếu \(f(x) = (1 – \sqrt x )’\) thì \(\int f (x)dx = – \sqrt x + C.\)
Lời giải:
Khẳng định đúng.
Vì: \(f(x) = (1 – \sqrt x )’ = ( – \sqrt x )’.\)
