Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Câu hỏi và bài tập ôn tập chương 2.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG 2
Bài 84. So sánh \(p\) và \(q\) biết:
a) \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^p} > {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ – q}}.\)
b) \({\left( {\frac{8}{3}} \right)^{ – p}} < {\left( {\frac{3}{8}} \right)^q}.\)
c) \(0,{25^p} < {\left( {\frac{1}{2}} \right)^{2q}}.\)
d) \({\left( {\frac{7}{2}} \right)^p} < {\left( {\frac{2}{7}} \right)^{p – 2q}}.\)
Lời giải:
a) \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^p} > {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{ – q}}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{2}{3}} \right)^p} > {\left( {\frac{2}{3}} \right)^q}\) \( \Leftrightarrow p < q.\)
b) \(p > q.\)
c) \(p > q.\)
d) \(p < q.\)
Gợi ý: \({\left( {\frac{2}{7}} \right)^{p – 2q}} = {\left( {\frac{7}{2}} \right)^{2q – p}}.\)
Bài 85. Cho \(x < 0.\) Chứng minh rằng: \(\sqrt {\frac{{ – 1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{2^x} – {2^{ – x}}} \right)}^2}} }}{{1 + \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{2^x} – {2^{ – x}}} \right)}^2}} }}} = \frac{{1 – {2^x}}}{{1 + {2^x}}}.\)
Lời giải:
Ta có: \(1 + \frac{1}{4}{\left( {{2^x} – {2^{ – x}}} \right)^2}\) \( = \frac{1}{4}{\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)^2}.\)
\( \Rightarrow \sqrt {1 + \frac{1}{4}{{\left( {{2^x} – {2^{ – x}}} \right)}^2}} \) \( = \sqrt {\frac{1}{4}{{\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)}^2}} \) \( = \frac{1}{2}\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right).\)
\( – 1 + \frac{1}{2}\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)\) \( = \frac{{{2^x} – 2 + {2^{ – x}}}}{2}\) \( = \frac{{{{\left( {{2^{\frac{x}{2}}} – {2^{ – \frac{x}{2}}}} \right)}^2}}}{2}.\)
\(1 + \frac{1}{2}\left( {{2^x} + {2^{ – x}}} \right)\) \( = \frac{{{2^x} + 2 + {2^{ – x}}}}{2}\) \( = \frac{{{{\left( {{2^{\frac{x}{2}}} + {2^{ – \frac{x}{2}}}} \right)}^2}}}{2}.\)
\(VT = \left| {\frac{{{2^{\frac{x}{2}}} – {2^{ – \frac{x}{2}}}}}{{{2^{\frac{x}{2}}} + {2^{ – \frac{x}{2}}}}}} \right|\) \( = \left| {\frac{{{2^x} – 1}}{{{2^x} + 1}}} \right|\) \( = \frac{{1 – {2^x}}}{{1 + {2^x}}}\) (vì \(x < 0\)).
Bài 86. Tính:
a) \(A = {9^{2{{\log }_3}4 + 4{{\log }_{81}}2}}.\)
b) \(B = {\log _a}\left( {\frac{{{a^2}\sqrt[3]{a}\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}} \right).\)
c) \(C = {\log _5}{\log _5}\underbrace {\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{ \ldots \sqrt[5]{5}}}}}}}}_{n\,\,{\rm{dấu\:căn}}}.\)
Lời giải:
a) Ta có: \(2{\log _3}4 + 4{\log _{81}}2\) \( = {\log _9}{4^4} + {\log _9}{2^2}\) \( = {\log _9}{2^{10}}.\)
\( \Rightarrow {9^{2{{\log }_3}4 + 4{{\log }_{81}}2}} = {9^{{{\log }_9}{2^{10}}}}\) \( = {2^{10}} = 1024.\)
Vậy \(A = 1024.\)
b) \(\frac{{{a^2}\sqrt[3]{a}\sqrt[5]{{{a^4}}}}}{{\sqrt[4]{a}}}\) \( = {a^{2 + \frac{1}{3} + \frac{4}{5} – \frac{1}{4}}} = {a^{\frac{{173}}{{60}}}}.\)
\(B = {\log _a}{a^{\frac{{173}}{{60}}}} = \frac{{173}}{{60}}.\)
c) \(\underbrace {\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{\sqrt[5]{{ \ldots \sqrt[5]{5}}}}}}}}_{n\,\,{\rm{dấu\:căn}}} = {5^{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}.\)
\( \Rightarrow C = {\log _5}{\log _5}{5^{{{\left( {\frac{1}{5}} \right)}^n}}}\) \( = {\log _5}{\left( {\frac{1}{5}} \right)^n} = – n.\)
Bài 87. Chứng minh rằng: \({\log _2}3 > {\log _3}4.\)
Lời giải:
Ta có \({\log _2}3 > 0\), \({\log _3}4 > 0.\)
Bất đẳng thức đã cho tương đương với:
\(\frac{1}{{{{\log }_3}2}} > {\log _3}4\) \( \Leftrightarrow {\log _3}2.{\log _3}4 < 1\) \((1).\)
Mặt khác: \(\frac{1}{2}\left( {{{\log }_3}2 + {{\log }_3}4} \right) \ge \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} .\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{\log }_3}2.{{\log }_3}4} \) \( \le \frac{1}{2}{\log _3}8 < \frac{1}{2}{\log _3}9 = 1\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra điều phải chứng minh.
Bài 88. Gọi \(c\) là cạnh huyền, \(a\) và \(b\) là hai cạnh góc vuông của một tam giác vuông. Chứng minh rằng: \({\log _{b + c}}a + {\log _{c – b}}a\) \( = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c – b}}a.\)
Lời giải:
Theo giả thiết: \({a^2} + {b^2} = {c^2}\) \( \Leftrightarrow {a^2} = (c – b)(c + b).\)
Từ đó suy ra: \({\log _a}(c – b) + {\log _a}(c + b) = 2\) \( \Rightarrow \frac{1}{{{{\log }_{c – b}}a}} + \frac{1}{{{{\log }_{c + b}}a}} = 2.\)
\( \Leftrightarrow {\log _{b + c}}a + {\log _{c – b}}a\) \( = 2{\log _{b + c}}a.{\log _{c – b}}a\) (điều phải chứng minh).
Bài 89. Chứng minh rằng hàm số \(y = \ln \frac{1}{{1 + x}}\) thỏa mãn hệ thức \(xy’ + 1 = {e^y}.\)
Lời giải:
Ta có: \(y’ = – \frac{1}{{1 + x}}.\) Từ đó suy ra \(xy’ + 1\) \( = – \frac{x}{{x + 1}} + 1\) \( = \frac{1}{{x + 1}} = {e^y}.\)
Bài 90. Giả sử đồ thị \((G)\) của hàm số \(y = \frac{{{{(\sqrt 2 )}^x}}}{{\ln 2}}\) cắt trục tung tại điểm \(A\) và tiếp tuyến của \((G)\) tại \(A\) cắt trục hoành tại điểm \(B.\) Tính giá trị gần đúng của diện tích của tam giác \(OAB\) (chính xác đến hàng phần nghìn).
Lời giải:
Cách 1: Tọa độ của \(A\) là: \(\left( {0;\frac{1}{{\ln 2}}} \right)\) \( \Rightarrow OA = \frac{1}{{\ln 2}}.\)
Ta có: \(y’ = \frac{1}{2}{(\sqrt 2 )^x}\) suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị \((G)\) tại \(A\) là \(y'(0) = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}.\)
Trong tam giác \(OAB\), ta có \(\frac{{OA}}{{OB}} = \tan \widehat {OBA} = \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow OB = 2OA = \frac{2}{{\ln 2}}.\)
Do đó diện tích tam giác \(OAB\) là: \({S_{OAB}} = \frac{1}{2}toanmax.vn\) \( = \frac{1}{{{{\ln }^2}2}} \approx 2,081.\)
Cách 2: Tiếp tuyến tại \(A\) có phương trình \(y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{{\ln 2}}.\)
Suy ra tọa độ của \(B\) là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{y = \frac{1}{2}x + \frac{1}{{\ln 2}}}\\
{y = 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = \frac{{ – 2}}{{\ln 2}}}\\
{y = 0}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow B\left( { – \frac{2}{{\ln 2}};0} \right).\)
\( \Rightarrow OB = \frac{2}{{\ln 2}}\) \( \Rightarrow {S_{OAB}} = \frac{1}{2}toanmax.vn\) \( = \frac{1}{{{{\ln }^2}2}} \approx 2,081.\)
Bài 91. Kí hiệu \(M\) là một điểm thuộc đồ thị của hàm số \(y = {\log _a}x.\) Trong hai khẳng định \(a > 1\) và \(0 < a < 1\), khẳng định nào đúng trong mỗi trường hợp sau? Vì sao?
a) \(M\) có tọa độ \((0,5; – 7).\)
b) \(M\) có tọa độ \((0,5;7).\)
c) \(M\) có tọa độ \((3;5,2).\)
d) \(M\) có tọa độ \((3; – 5,2).\)
Lời giải:
Áp dụng tính chất của hàm số lôgarit đồng biến trên \((0; + \infty )\) khi \(a > 1\), nghịch biến trên \((0; + \infty )\) khi \(0 < a < 1\), ta có:
a) \(a > 1.\)
b) \(0 < a < 1.\)
c) \(a > 1.\)
d) \(0 < a < 1.\)
Bài 92. Các loài cây xanh trong quá trình quang hợp sẽ nhận được một lượng nhỏ cacbon \(14\) (một đồng vị của cacbon). Khi một bộ phận của một cái cây nào đó bị chết thì hiện tượng quang hợp cũng ngưng và nó sẽ không nhận thêm cacbon \(14\) nữa. Lượng cacbon \(14\) của bộ phận đó sẽ phân hủy một cách chậm chạp, chuyển hóa thành nitrogen \(14.\) Biết rằng nếu gọi \(P(t)\) là số phần trăm cacbon \(14\) còn lại trong một bộ phận của một các cây sinh trưởng từ \(t\) năm trước thì \(P(t)\) được tính theo công thức \(P(t) = 100 \times {(0,5)^{\frac{t}{{5750}}}}\) \((\% ).\) Phân tích một mẩu gỗ từ một công trình kiến trúc cổ, người ta thấy lượng cacbon \(14\) còn lại trong mẩu gỗ đó là \(65\% .\) Hãy xác định niên đại của công trình kiến trúc đó.
Lời giải:
Ta có: \(f(0) = 100\% .\)
\(f(t) = 65\% \) \( \Leftrightarrow 100.{(0,5)^{\frac{t}{{5750}}}} = 65\) \( \Leftrightarrow t = 5750.{\log _{0,5}}0,65\) \( \Rightarrow t \approx 3574\) (năm).
Bài 93. Giải các phương trình:
a) \({32^{\frac{{x + 5}}{{x – 7}}}} = 0,{25.128^{\frac{{x + 17}}{{x – 3}}}}.\)
b) \({5^{x – 1}} = {10^x}{.2^{ – x}}{.5^{x + 1}}.\)
c) \({4^x} – {3^{x – 0,5}} = {3^{x + 0,5}} – {2^{2x – 1}}.\)
d) \({3^{4x + 8}} – {4.3^{2x + 5}} + 28 = 2{\log _2}\sqrt 2 .\)
Lời giải:
a) Điều kiện \(x \ne 3\) và \(x \ne 7.\)
Phương trình tương đương với:
\({2^{\frac{{5(x + 5)}}{{x – 7}}}} = {2^{\frac{{7(x + 17)}}{{x – 3}} – 2}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{5(x + 5)}}{{x – 7}} = \frac{{7(x + 17)}}{{x – 3}} – 2\) \( \Leftrightarrow x = 10.\)
b) \({5^{x – 1}} = {10^x}{.2^{ – x}}{.5^{x + 1}}\) \( \Leftrightarrow {2^x} = {10^x}{.5^2}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{1}{5}} \right)^x} = {5^2}\) \( \Leftrightarrow x = – 2.\)
c) \({4^x} – {3^{x – 0,5}} = {3^{x + 0,5}} – {2^{2x – 1}}.\)
\( \Leftrightarrow {4^x} + \frac{1}{2}{4^x} = \left( {\sqrt 3 + \frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right){3^x}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = \frac{4}{3}.\frac{2}{{\sqrt 3 }}\) \( \Leftrightarrow {\left( {\frac{4}{3}} \right)^x} = {\left( {\frac{4}{3}} \right)^{\frac{3}{2}}}\) \( \Leftrightarrow x = \frac{3}{2}.\)
d) \({3^{4x + 8}} – {4.3^{2x + 5}} + 28 = 2{\log _2}\sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow {3^{2(2x + 4)}} – {12.3^{2x + 4}} + 27 = 0.\)
Đặt \(t = {3^{2x + 4}}\) \((t > 0).\)
Ta được: \({t^2} – 12t + 27 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t = 3}\\
{t = 9}
\end{array}} \right..\)
+ Với \(t = 3\) \( \Rightarrow {3^{2x + 4}} = 3\) \( \Leftrightarrow 2x + 4 = 1\) \( \Leftrightarrow x = – \frac{3}{2}.\)
+ Với \(t = 9\) \( \Rightarrow {3^{2x + 4}} = 9\) \( \Leftrightarrow 2x + 4 = 2\) \( \Leftrightarrow x = – 1.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \left\{ { – \frac{3}{2}; – 1} \right\}.\)
Bài 94. Giải các phương trình:
a) \({\log _3}\left( {\log _{0,5}^2x – 3{{\log }_{0,5}}x + 5} \right) = 2.\)
b) \({\log _2}\left( {{{4.3}^x} – 6} \right) – {\log _2}\left( {{9^x} – 6} \right) = 1.\)
c) \(1 – \frac{1}{2}\lg (2x – 1) = \frac{1}{2}\lg (x – 9).\)
d) \(\frac{1}{6}{\log _2}(x – 2) – \frac{1}{3} = {\log _{\frac{1}{8}}}\sqrt {3x – 5} .\)
Lời giải:
a) \({\log _3}\left( {\log _{0,5}^2x – 3{{\log }_{0,5}}x + 5} \right) = 2\) \( \Leftrightarrow \log _{0,5}^2x – 3{\log _{0,5}}x + 5 = 9.\)
\( \Leftrightarrow \log _{0,5}^2x – 3{\log _{0,5}}x – 4 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_{0,5}}x = – 1}\\
{{{\log }_{0,5}}x = 4}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{x = \frac{1}{{16}}}
\end{array}} \right..\)
b) \({\log _2}\left( {{{4.3}^x} – 6} \right) – {\log _2}\left( {{9^x} – 6} \right) = 1.\)
ĐKXĐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{4.3}^x} – 6 > 0}\\
{{9^x} – 6 > 0}
\end{array}} \right..\)
Phương trình tương đương với:
\({\log _2}\left( {{{4.3}^x} – 6} \right) = {\log _2}2\left( {{9^x} – 6} \right)\) \( \Leftrightarrow {4.3^x} – 6 = 2\left( {{9^x} – 6} \right).\)
\( \Leftrightarrow {2.3^{2x}} – {4.3^x} – 6 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{3^x} = – 1}\\
{{3^x} = 3}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = 1.\) Thỏa mãn ĐKXĐ.
c) ĐKXÐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x – 1 > 0}\\
{x – 9 > 0}
\end{array}} \right..\) Phương trình tương đương với:
\(1 = \frac{1}{2}\lg (x – 9)(2x – 1)\) \( \Leftrightarrow \lg (x – 9)(2x – 1) = 2\) \( \Leftrightarrow (x – 9)(2x – 1) = 100.\)
\( \Leftrightarrow 2{x^2} – 19x – 91 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 3,5\,\,{\rm{(không\:thỏa\:mãn\:ĐKXĐ)}}}\\
{x = 13}
\end{array}} \right..\)
Vậy tập nghiệm của phương trình là \(S = \{ 13\} .\)
d) Điều kiện xác định của phương trình là \(x > 2.\) Khi đó ta biến đổi phương trình thành:
\(\frac{1}{6}{\log _2}(x – 2) + \frac{1}{6}{\log _2}(3x – 5) = \frac{1}{3}\) \( \Leftrightarrow {\log _2}(x – 2)(3x – 5) = 2\) \( \Leftrightarrow (x – 2)(3x – 5) = 4.\)
\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 3}\\
{x = \frac{2}{3}\,\,{\rm{(không\:thỏa\:mãn\:ĐKXĐ)}}}
\end{array}} \right..\)
Vậy phương trình có nghiệm \(x = 3.\)
Bài 95. Giải phương trình \({4^x} – {3^x} = 1.\)
Lời giải:
Phương trình tương đương với \({4^x} = {3^x} + 1\) \( \Leftrightarrow 1 = {\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x}.\)
Dễ thấy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình. Ta chứng minh \(x = 1\) là nghiệm duy nhất của phương trình. Thật vậy:
+ Nếu \(x > 1\) thì \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} < \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1.\)
+ Nếu \(x < 1\) thì \({\left( {\frac{3}{4}} \right)^x} + {\left( {\frac{1}{4}} \right)^x} > \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1.\)
Vậy \(x = 1\) là nghiệm của phương trình.
Bài 96. Giải các hệ phương trình:
a) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}(x – y) = 5 – {{\log }_2}(x + y)}\\
{\frac{{\lg x – \lg 4}}{{\lg y – \lg 3}} = – 1}
\end{array}} \right..\)
b) \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2{{\log }_2}x – {3^y} = 15}\\
{{3^y}.{{\log }_2}x = 2{{\log }_2}x + {3^{y + 1}}}
\end{array}} \right..\)
Lời giải:
a) ĐKXÐ: \(x – y > 0\), \(x + y > 0\), \(y \ne 3.\)
Hệ phương trình tương đương với: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}(x – y) + {{\log }_2}(x + y) = 5}\\
{\lg x – \lg 4 = \lg 3 – \lg y}
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}(x – y)(x + y) = 5}\\
{\lg xy = \lg 12}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – {y^2} = 32}\\
{xy = 12}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – {{\left( {\frac{{12}}{x}} \right)}^2} = 32}\\
{xy = 12}
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^4} – 32{x^2} – 144 = 0}\\
{xy = 12}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 6}\\
{y = 2}
\end{array}} \right..\)
Vì \(x > 0\), \(y > 0.\) Vậy nghiệm của hệ phương trình là: \((x;y) = (6;2).\)
b) Đặt \(u = {\log _2}x\), \(u = {3^y}\) \((v > 0)\) ta được hệ phương trình:
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2u – v = 15}\\
{u.v = 2u + 3v}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v = 2u – 15}\\
{u(2u – 15) = 2u + 3(2u – 15)}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v = 2u – 15}\\
{2{u^2} – 23u + 45 = 0}
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{v = 2u – 15}\\
{u = 9\,\,{\rm{hoặc}}\,\,u = \frac{5}{2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 9}\\
{v = 3}
\end{array}} \right.\) hoặc \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = \frac{5}{2}}\\
{v = – 10\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..\)
Với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{u = 9}\\
{v = 3}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{{\log }_2}x = 9}\\
{{3^y} = 3}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {2^9}}\\
{y = 1}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 512}\\
{y = 1}
\end{array}} \right..\)
Vậy hệ phương trình có nghiệm \((x;y) = (512;1).\)
Bài 97. Giải các bất phương trình:
a) \(\frac{{1 – {{\log }_4}x}}{{1 + {{\log }_2}x}} \le \frac{1}{2}.\)
b) \({\log _{\frac{1}{{\sqrt 5 }}}}\left( {{6^{x + 1}} – {{36}^x}} \right) \ge – 2.\)
c) \({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{x^2} – 6x + 18} \right) + 2{\log _5}(x – 4) < 0.\)
Lời giải:
a) Đặt \(t = {\log _4}x\) ta được bất phương trình:
\(\frac{{1 – t}}{{1 + 2t}} \le \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow \frac{{1 – 4t}}{{1 + 2t}} \le 0\) \( \Leftrightarrow t < – \frac{1}{2}\) hoặc \(t \ge \frac{1}{4}.\)
+ Với \(t < – \frac{1}{2}\) \( \Rightarrow {\log _4}x < – \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow x < {4^{ – \frac{1}{2}}} = \frac{1}{2}.\)
ĐKXĐ: \(x > 0\) \( \Rightarrow 0 < x < \frac{1}{2}.\)
+ Với \(t \ge \frac{1}{4}\) \( \Rightarrow {\log _4}x \ge \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow x \ge {4^{\frac{1}{4}}} = \sqrt 2 .\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = \left( {0;\frac{1}{2}} \right) \cup [\sqrt 2 ; + \infty ).\)
b) ĐKXĐ: \({6^{x + 1}} – {36^x} > 0.\)
Bất phương trình tương đương với: \({6^{x + 1}} – {36^x} \le 5\) \( \Leftrightarrow {6^{2x}} – {6.6^x} + 5 \ge 0.\)
Đặt \(t = {6^x}\) \((t > 0)\) ta được: \({t^2} – 6t + 5 \ge 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \le 1}\\
{t \ge 5}
\end{array}.} \right.\)
ĐKXÐ: \(6t – {t^2} > 0\) \( \Leftrightarrow 0 < t < 6.\)
\( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{t \le 1}\\
{5 \le t < 6}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{6^x} \le 1}\\
{5 \le {6^x} < 6}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x \le 0}\\
{{{\log }_6}5 \le x < 1}
\end{array}} \right..\)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là \(S = ( – \infty ;0] \cup \left[ {{{\log }_6}5;1} \right).\)
c) ĐKXÐ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 6x + 18 > 0}\\
{x – 4 > 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x > 4.\)
Bất phương trình đã cho tương đương với:
\({\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{x^2} – 6x + 18} \right) – {\log _{\frac{1}{5}}}{(x – 4)^2} < 0.\)
\( \Leftrightarrow {\log _{\frac{1}{5}}}\left( {{x^2} – 6x + 18} \right) < {\log _{\frac{1}{5}}}{(x – 4)^2}\) \( \Leftrightarrow \left( {{x^2} – 6x + 18} \right) > {(x – 4)^2}\) \( \Leftrightarrow x > – 1.\)
Do điều kiện \(x > 4\) nên nghiệm của bất phương trình là \(x > 4.\)
BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN
1. ĐỀ BÀI
Bài 98. Giá trị biểu thức \(\log _{2} 36-\log _{2} 144\) bằng:
(A) \(-4.\)
(B) \(4.\)
(C) \(-2.\)
(D) \(2.\)
Bài 99. Biết \({\log _6}\sqrt a = 2\) thì \({\log _6}a\) bằng:
(A) \(36.\)
(B) \(108.\)
(C) \(6.\)
(D) \(4.\)
Bài 100. Tập các số \(x\) thỏa mãn \({\log _{0,4}}(x – 4) + 1 \ge 0\) là:
(A) \((4; + \infty ).\)
(B) \((4;6,5).\)
(C) \(( – \infty ;6,5).\)
(D) \([6,5; + \infty ).\)
Bài 101. Tập các số \(x\) thỏa mãn: \({\left( {\frac{2}{3}} \right)^{4x}} \le {\left( {\frac{3}{2}} \right)^{2 – x}}\) bằng:
(A) \(\left( { – \infty ;\frac{2}{3}} \right].\)
(B) \(\left[ { – \frac{2}{3}; + \infty } \right).\)
(C) \(\left( { – \infty ;\frac{2}{5}} \right].\)
(D) \(\left[ {\frac{2}{5}; + \infty } \right).\)
Bài 102. Giá trị biểu thức \(3{\log _{0,1}}{10^{2,4}}\) bằng:
(A) \(0,8.\)
(B) \(7,2.\)
(C) \(-7,2.\)
(D) \(72.\)
Bài 103. Giá trị biểu thức \((0,5){\log _2}25 + {\log _2}(1,6)\) bằng:
(A) \(1.\)
(B) \(2.\)
(C) \(3.\)
(D) \(5.\)
Bài 104. Giá trị biểu thức \(\frac{{{{\log }_2}240}}{{{{\log }_{3,75}}2}} – \frac{{{{\log }_2}15}}{{{{\log }_{60}}2}} + {\log _2}1\) bằng:
(A) \(4.\)
(B) \(3.\)
(C) \(1.\)
(D) \(-8.\)
Bài 105. Tập các số \(x\) thỏa mãn: \({\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2x – 1}} \le {\left( {\frac{3}{5}} \right)^{2 – x}}\) là:
(A) \([3; + \infty ).\)
(B) \(( – \infty ;1].\)
(C) \([1; + \infty ).\)
(D) \(( – \infty ; + \infty ).\)
Bài 106. Đối với hàm số \(f(x) = {e^{\cos 2x}}\), ta có:
(A) \(f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = {e^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}.\)
(B) \(f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = – {e^{\frac{{\sqrt 3 }}{2}}}.\)
(C) \(f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = \sqrt {3e} .\)
(D) \(f’\left( {\frac{\pi }{6}} \right) = – \sqrt 3 e.\)
Bài 107. Đối với hàm số \(y = \ln \frac{1}{{x + 1}}\), ta có:
(A) \(xy’ + 1 = {e^y}.\)
(B) \(xy’ + 1 = – {e^y}.\)
(C) \(x’y – 1 = {e^y}.\)
(D) \(xy’ – 1 = – {e^y}.\)
Bài 108. Trên hình vẽ (hình 2.13 SGK) đồ thị ba hàm số \(y = {a^x}\), \(y = {b^x}\), \(y = {c^x}\) (\(a\), \(b\), \(c\) dương khác \(1\)) được vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào các tính chất của lũy thừa, hãy so sánh ba số \(a\), \(b\), \(c.\)
(A) \(a > b > c.\)
(B) \(a > c> b.\)
(C) \(c> b > a.\)
(D) \(b > c > a.\)
Bài 109. Trên hình vẽ đồ thị ba hàm số \(y = {\log _a}x\), \(y = {\log _b}x\), \(y = {\log _c}x\) (\(a\), \(b\), \(c\) dương khác \(1\)) được vẽ trên cùng một mặt phẳng tọa độ. Dựa vào đồ thị và các tính chất của logarit, hãy so sánh ba số \(a\), \(b\) và \(c.\)
(A) \(a > b > c.\)
(B) \(c > a > b.\)
(C) \(b > a > c.\)
(D) \(c > b > a.\)
Bài 110. Phương trình \({\log _2}4x – {\log _{\frac{x}{2}}}2 = 3\) có bao nhiêu nghiệm?
(A) \(1\) nghiệm.
(B) \(2\) nghiệm.
(C) \(3\) nghiệm.
(D) vô nghiệm.
2. ĐÁP ÁN
98. C. 99. D. 100. B. 101. B. 102. C. 103. C. 104. D. 105. C. 106. D. 107. A. 108. B. 109. C. 110. B.
