Thứ Ba ngày 28 tháng 05 năm 2019, trường Trung học Phổ thông chuyên Đại học Sư phạm Hà Nội tổ chức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm học 2019 – 2020, nhằm tuyển chọn các em học sinh đạt yêu cầu về mặt kiến thức, để chuẩn bị cho năm học mới.
Đề Toán tuyển sinh lớp 10 năm 2019 trường chuyên ĐHSP Hà Nội (Đề chung) được dùng cho mọi thí sinh thi vào trường, đề gồm 1 trang với 5 bài toán, học sinh làm bài thi trong khoảng thời gian 120 phút.
Trích dẫn đề Toán tuyển sinh lớp 10 năm 2019 trường chuyên ĐHSP Hà Nội (Đề chung):
+ Trên quãng đường AB dài 20km, tại cùng một thời điểm, bạn An đi bộ từ A đến B và bạn Bình đi bộ từ B về A. Sau 2 giờ kể từ lúc xuất phát, An và Bình gặp nhau tại C và cùng nghỉ tại C 15 phút (vận tốc của An trên quãng đường AC không thay đổi, vận tốc của Bình trên quãng đường BC không thay đổi). Sau khi nghỉ, An đi tiếp đến B với vận tốc nhỏ hơn vận tốc của An trên quãng đường AC là 1 km/h, Bình đi tiếp đến A với vận tốc lớn hơn vận tốc của Bình trên quãng đường BC là 1 km/h. Biết rằng An đến B sớm hơn so với Bình đến A là 48 phút. Hỏi vận tốc của An trên quãng đường AC là bao nhiêu?
[ads]
+ Cho đường tròn (O) bán kính R ngoại tiếp tam giác ABC có ba góc nhọn. Gọi AA1, BB1, CC1 là các đường cao của tam giác ABC. Đường thẳng A1C1 cắt đường tròn (O) tại A’ và C’ (A1 nằm giữa A’ và C1). Các tiếp tuyến của đường tròn (O) tại A’ và C’ cắt nhau tại B’.
1. Gọi H là trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh: HC1.A1C=A1C1.HB1.
2. Chứng minh ba điểm B,B’,O thằng hàng.
3. Khi tam giác ABC là tam giác đều. Hãy tính A’C’ theo R.
+ Cho các đa thức: P(x) = x^2 + ax + b, Q(x) = x^2 + cx + d với a, b, c, d là các số thực.
1. Tìm a và b để 1 và a là nghiệm của phương trình P(x) = 0.
2. Giả sử phương trình P(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 và phương trình Q(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt x3, x4 sao cho P(x3) + P(x4) = Q(x1) + Q(x2). Chứng minh: |x2 – x1| = |x4 – x3|.
