toanmax.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi chọn đội tuyển thành phố dự thi học sinh giỏi Quốc gia môn Toán năm học 2022 – 2023 sở Giáo dục và Đào tạo thành phố Hà Nội; kỳ thi được diễn ra trong hai ngày: vòng 1: 22/10/2022 và vòng 2: 23/10/2022.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Hà Nội:
+ Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O). Trên cung nhỏ AC lấy điểm D sao cho tứ giác ABCD không là hình thang. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AOD và đường tròn ngoại tiếp tam giác BOC cắt nhau tại hai điểm phân biệt H và O. Gọi I là giao điểm của AC và BD. a) Chứng minh đường thẳng HI vuông góc với đường thẳng HO. b) Gọi M là trung điểm của CD và N là hình chiếu của I lên BC. Chứng minh bốn điểm M, H, N và C cùng thuộc một đường tròn.
+ Cho tập hợp M gồm 10 màu khác nhau và hai đoạn thẳng AB, CD cùng có độ dài bằng 100. Chia AB thành 100 đoạn và tô mỗi màu trong M cho đúng 10 đoạn. Chia CD thành 10 đoạn và tô mỗi màu trong M cho đúng 1 đoạn. Chồng khớp AB lên CD sao cho A trùng C và B trùng D. Gọi S là tổng độ dài của các phần có chung màu trên AB và CD. a) Chứng minh rằng tồn tại một cách chia và tô màu cho AB, đồng thời tồn tại một cách chia CD mà với mọi cách tô màu cho CD thì S = 10. b) Chứng minh rằng với mọi cách chia và tô màu cho AB, đồng thời với mọi cách chia CD, luôn tồn tại cách tô màu cho CD để S ≥ 10.
+ Cho số nguyên dương n lớn hơn 3. Viết các số 1, 2, …, n vào các ô vuông của bảng ô vuông cỡ n x n sao cho hai ô vuông khác nhau được viết hai số khác nhau. Chứng minh rằng tồn tại hai ô vuông nằm trên cùng một hàng hoặc nằm trên cùng một cột sao cho hiệu của hai số được viết trên hai ô vuông đó lớn hơn n²/2.
