Thứ Hai ngày 13 tháng 07 năm 2020, trường Phổ thông Năng khiếu, Đại học Quốc gia thành phố Hồ Chí Minh tổ chức kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán năm học 2020 – 2021.
Đề tuyển sinh 10 môn Toán (chuyên) năm 2020 – 2021 trường PTNK – TP HCM gồm 01 trang với 05 bài toán dạng tự luận, thời gian học sinh làm bài thi là 120 phút.
Trích dẫn đề tuyển sinh 10 môn Toán (chuyên) năm 2020 – 2021 trường PTNK – TP HCM:
+ Cho các phương trình: x^2 + ax + 3 = 0 và x^2 + bx + 5 = 0 với a, b là tham số.
a) Chứng minh nếu ab ≥ 16 thì trong hai phương trình trên có ít nhất một phương trình có nghiệm.
b) Giả sử hai phương trình trên có nghiệm chung x0. Tìm a, b sao cho |a| + |b| có giá trị nhỏ nhất.
+ Cho phương trình: 3x^2 – y^2 = 23^n với n là số tự nhiên.
a) Chứng minh nếu n chẵn thì phương trình đã cho không có nghiệm nguyên (x;y).
b) Chứng minh nếu n lẻ thì phương trình đã cho có nghiệm nguyên (x;y).
[ads]
+ Cho số tự nhiên a = 3^13.5^7.7^20.
a) Gọi A là tập hợp các số nguyên dương k sao cho k là ước của a và k chia hết cho 105. Hỏi tập A có bao nhiêu phần tử?
b) Giả sử B là một tập con bất kỳ của A có 9 phần tử. Chứng minh ta luôn có thể tìm được 2 phần tử của B sao cho tích của chúng là số chính phương.
