Bài viết hướng dẫn phương pháp viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương (Oxyz), đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Hình học 12 chương 3: Phương pháp tọa độ trong không gian.
I. CÁC KẾT QUẢ CẦN LƯU Ý
Đường thẳng \(d\) qua \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\vec u = (a;b;c)\) có phương trình \(d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + at}\\
{y = {y_0} + bt}\\
{z = {z_0} + ct}
\end{array}} \right.\) \((t \in R)\) hoặc \(d:\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c}\) \((abc \ne 0).\)
Lưu ý: Chuyển từ phương trình chính tắc sang phương trình tham số, ta có thể thực hiện theo cách sau:
\(\frac{{x – {x_0}}}{a} = \frac{{y – {y_0}}}{b} = \frac{{z – {z_0}}}{c} = t\) \( \Rightarrow d:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = {x_0} + at}\\
{y = {y_0} + bt}\\
{z = {z_0} + ct}
\end{array}} \right.\) \((t \in R).\)
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(AB\), biết \(A(1;1;1)\) và \(B(2;0;3).\)
A. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 2}}{1}.\)
B. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{1}.\)
D. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.\)
Lời giải:
Đường thẳng \(AB\) qua \(A(1;1;1)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {AB} = (1; – 1;2)\), có phương trình: \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.\)
Chọn đáp án B.
Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ \(A\), \(B\) để kiểm tra các đáp án phù hợp.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(MN\), biết \(M(1;1;2)\) và \(N(2;0;3).\)
A. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.\)
B. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{2}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.\)
D. \(\frac{{x – 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.\)
Lời giải:
Đường thẳng \(MN\) qua \(M(1;1;2)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {MN} = (1; – 1;1)\) có phương trình: \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(A(1;1;1)\) và \(B(2;0;3).\) Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng \(AB\)?
A. \(\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y + 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 5}}{2}.\)
B. \(\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z-1}{2}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{1}.\)
D. \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{2}.\)
Lời giải:
Xét đáp án C. Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1; – 1;2)\) không cùng phương với \(\vec u = (1; – 1;1)\), suy ra phương trình ở đáp án C không là phương trình đường thẳng \(AB.\)
Chọn đáp án C.
Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ hai điểm \(A\), \(B\) để kiểm tra từng đáp án.
Ví dụ 4: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(P(1;0;1)\) và \(Q(2;1;-1).\) Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng \(PQ\)?
A. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.\)
B. \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.\)
C. \(\frac{x}{2} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 4}}.\)
D. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z + 1}}{{ – 2}}.\)
Lời giải:
Xét đáp án D. Thay tọa độ điểm \(P(1;0;1)\) vào phương trình đường thẳng ta được: \(\frac{{1 – 1}}{1} = \frac{0}{1} = \frac{{1 + 2}}{{ – 2}}\) sai.
Suy ra phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng \(PQ.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 5: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) chứa trục \(Ox.\)
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = t}\\
{z = t}
\end{array}} \right..\)
Lời giải:
Đường thẳng \(d\) qua \(O(0;0;0)\) và có một vectơ chỉ phương là \(\vec u = (1;0;0)\) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
Chọn đáp án A.
Nhận xét: Học sinh có thể thay tọa độ \(O(0;0;0)\), \(A(1;0;0)\) để kiểm tra các đáp án phù hợp.
Ví dụ 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), trong các phương trình sau phương trình nào không là phương trình đường thẳng chứa trục \(Ox\)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + 4t}\\
{y = 0}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..\)
Lời giải:
Xét đáp án D. Chọn \(A(1;0;0) \in Ox\) không thỏa mãn phương trình ở đáp án này nên phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng chứa trục \(Ox.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), trong các phương trình sau phương trình nào không là phương trình đường thẳng chứa trục \(Oz\)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = t}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = 2 + 4t}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..\)
Lời giải:
Xét đáp án D. Chọn \(A(0;0;1) \in Oz\) không thỏa mãn phương trình ở đáp án này nên phương trình ở đáp án D không là phương trình đường thẳng chứa trục \(Oz.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 8: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;3)\) và song song với trục \(Oy.\)
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..\)
Lời giải:
Đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;3)\) và song song với trục \(Oy\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\vec j = (0;1;0)\) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 9: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;3)\) và song song với trục \(Oz.\)
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..\)
Lời giải:
Đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;3)\) và song song với trục \(Oz\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\vec k = (0;0;1)\) có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 10: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(2;1;2)\) và vuông góc với mặt phẳng \((Oyz).\)
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + 2t}\\
{y = t}\\
{z = 2t}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..\)
Lời giải:
Mặt phẳng \((Oyz):\) \(x = 0\) có một vectơ pháp tuyến là \(\vec i = (1;0;0).\)
Đường thẳng \(d\) qua \(A(2;1;2)\) và vuông góc với mặt phẳng \((Oyz)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\vec i = (1;0;0)\), có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 11: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;4)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{3}.\)
A. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 4}}{3}.\)
B. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{4}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 4}}{1}.\)
D. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{4}.\)
Lời giải:
Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_\Delta } = (1;2;3).\)
Đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;4)\) và song song với \(\Delta \) nên có một vectơ chỉ phương là \({\vec u_\Delta } = (1;2;3)\), có phương trình \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 4}}{3}.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 12: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P):x + 2y + 2z + 1 = 0.\)
A. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}.\)
B. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{2}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{1}.\)
D. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 2}}{3}.\)
Lời giải:
Mặt phẳng \((P)\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_p} = (1;2;2).\)
Đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;3)\) và vuông góc với \((P)\) nên có một vectơ chỉ phương là \({\vec n_p} = (1;2;2)\), có phương trình: \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{2}.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 13: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(I(2;2; – 3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((Q):x – 2y – 3z + 5 = 0.\)
A. \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.\)
B. \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.\)
C. \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y + 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 3}}{{ – 3}}.\)
D. \(\frac{{x – 2}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.\)
Lời giải:
Mặt phẳng \((Q)\) có một vectơ pháp tuyến là \({\vec n_Q} = (1; – 2; – 3).\)
Đường thẳng \(d\) qua \(I(2;2;-3)\) và vuông góc với \((Q)\) nên có một vectơ chỉ phương là \({\vec n_Q} = (1; – 2; – 3)\), có phương trình: \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z + 3}}{{ – 3}}.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 14: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(F(1;1;-3)\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), biết \(A(1;1;2)\), \(B(2;1;1)\), \(C(0;-1;3).\)
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = – 2 + t}\\
{y = t}\\
{z = – 2 – 3t}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – 2t}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – t}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 4 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – 2t}
\end{array}} \right..\)
Lời giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1;0; – 1)\), \(\overrightarrow {AC} = ( – 1; – 2;1).\)
Mặt phẳng \((ABC)\) có một vectơ pháp tuyến là:
\({\vec n_{(ABC)}} = [\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = ( – 2;0; – 2).\)
Đường thẳng \(d\) qua \(F(1;1;-3)\) và vuông góc với \((ABC)\) nên có một vectơ chỉ phương là \({\vec n_{(ABC)}} = ( – 2;0; – 2)\), có phương trình: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – 2t}\\
{y = 1}\\
{z = – 3 – 2t}
\end{array}} \right..\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 15: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(K(1;1;1)\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\), biết \(A(1;3;2)\), \(B(2;-1;1)\), \(C(-1;1;0).\)
A. \(\frac{{x + 1}}{6} = \frac{{y + 1}}{4} = \frac{{z + 1}}{{ – 10}}.\)
B. \(\frac{{x – 1}}{6} = \frac{{y – 1}}{4} = \frac{{z – 1}}{{10}}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 5}}.\)
D. \(\frac{{x + 1}}{3} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z + 1}}{{ – 5}}.\)
Lời giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = (1; – 4; – 1)\), \(\overrightarrow {AC} = ( – 2; – 2; – 2).\)
Mặt phẳng \((ABC)\) có một vectơ pháp tuyến là:
\({\vec n_{(ABC)}} = [\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = (6;4; – 10).\)
Đường thẳng \(\Delta \) qua \(K(1;1;1)\) và vuông góc với \((ABC)\) nên có một vectơ chỉ phương là \(\frac{1}{2}{\vec n_{(ABC)}} = (3;2; – 5)\), có phương trình \(\frac{{x – 1}}{3} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 5}}.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 16: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(M(1;0;0)\), \(N(0;0;1)\) và \(P(2;1;1).\) Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) là đường thẳng \(\Delta .\) Viết phương trình \(\Delta .\)
A. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.\)
B. \(\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{{ – 1}}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.\)
D. \(\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{1}.\)
Lời giải:
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = ( – 1;0;1)\), \(\overrightarrow {MP} = (1;1;1)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {MP} = 0\) \( \Leftrightarrow \Delta MNP\) vuông tại \(M.\)
Lúc đó, \(\Delta \) là đường thẳng qua trung điểm \(I\) của \(NP\) và vuông góc với mặt phẳng \((MNP).\)
Ta có: \(I\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)\) và \([\overrightarrow {MN} ;\overrightarrow {MP} ] = ( – 1;2; – 1).\)
\( \Rightarrow \Delta :\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 17: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;1;0)\), \(B(0;0;1)\) và \(C(2;1;1).\) Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) là đường thẳng \(\Delta .\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta .\)
A. \(\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.\)
B. \(\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{{ – 1}}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{{ – 1}}.\)
D. \(\frac{{x – \frac{1}{2}}}{{ – 1}} = \frac{y}{2} = \frac{{z – \frac{1}{2}}}{1}.\)
Lời giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( – 1; – 1;1)\), \(\overrightarrow {AC} = (1;0;1)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = 0\) \( \Leftrightarrow \Delta ABC\) vuông tại \(A.\)
Lúc đó, \(\Delta \) là đường thẳng qua trung điểm \(I\) của \(BC\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC).\) Ta có: \(I\left( {1;\frac{1}{2};1} \right)\) và \([\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = ( – 1;2;1).\)
\( \Rightarrow \Delta :\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{1}{2}}}{2} = \frac{{z – 1}}{1}.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 18: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(5;3;-1)\), \(B(2;3;-4)\) và \(C(1;2;0).\) Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) là đường thẳng \(\Delta .\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta .\)
A. \(\frac{{x – \frac{7}{2}}}{{ – 1}} = \frac{{y – 3}}{5} = \frac{{z + \frac{5}{2}}}{1}.\)
B. \(\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{5}{2}}}{5} = \frac{{z + \frac{1}{2}}}{1}.\)
C. \(\frac{{x – \frac{8}{3}}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{{11}}{3}}}{5} = \frac{{z + \frac{5}{3}}}{1}.\)
D. \(\frac{{x – \frac{3}{2}}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{5}{2}}}{5} = \frac{{z + 2}}{1}.\)
Lời giải:
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( – 3;0; – 3)\), \(\overrightarrow {AC} = ( – 4; – 1;1)\), \(\overrightarrow {BC} = ( – 1; – 1;4).\)
\( \Rightarrow AB = AC = BC = 3\sqrt 2 \) \( \Leftrightarrow \Delta ABC\) là tam giác đều.
Lúc đó, \(\Delta \) là đường thẳng qua trọng tâm \(G\) của \(\Delta ABC\) và vuông góc với mặt phẳng \((ABC).\)
Ta có: \(G\left( {\frac{8}{3};\frac{{11}}{3}; – \frac{5}{3}} \right).\)
\([\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} ] = ( – 3;15;3) = 3( – 1;5;1)\) \( \Rightarrow \Delta :\frac{{x – \frac{8}{3}}}{{ – 1}} = \frac{{y – \frac{{11}}{3}}}{5} = \frac{{z + \frac{5}{3}}}{1}.\)
Chọn đáp án C.
III. LUYỆN TẬP
1. ĐỀ BÀI
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(PQ\), biết \(P(1;0;1)\) và \(Q(2;1;-1).\)
A. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.\)
B. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.\)
D. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{y}{1} = \frac{{z – 1}}{{ – 2}}.\)
Câu 2: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(M(1;1;2)\) và \(N(2;0;3).\) Phương trình nào dưới đây không là phương trình đường thẳng \(MN\)?
A. \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{y}{{ – 1}} = \frac{{z – 3}}{1}.\)
B. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z + 2}}{1}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 2}}{1}.\)
D. \(\frac{{x – 3}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ – 2}} = \frac{{z – 4}}{2}.\)
Câu 3: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) chứa trục \(Oy.\)
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = t}\\
{z = t}
\end{array}} \right..\)
Câu 4: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) chứa trục \(Oz.\)
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 0}\\
{z = 4 + 2t}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = t}\\
{y = 0}\\
{z = 1}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 0}\\
{z = 4 + 2t}
\end{array}} \right..\)
Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), trong các phương trình sau phương trình nào không là phương trình đường thẳng chứa trục \(Oy\)?
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 1 – 3t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 – 5t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 4t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 2t}\\
{z = 0}
\end{array}} \right..\)
Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;3)\) và song song với trục \(Ox.\)
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 + t}\\
{y = 2t}\\
{z = 3t}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2}\\
{z = 3 + t}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1}\\
{y = 2 + t}\\
{z = 3}
\end{array}} \right..\)
Câu 7: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(2;1;2)\) và vuông góc với mặt phẳng \((Oxy).\)
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2 + t}\\
{y = 1}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t}\\
{y = t}\\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..\)
Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(2;1;2)\) và vuông góc với mặt phẳng \((Oxz).\)
A. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2t}
\end{array}} \right..\)
B. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2t}\\
{y = t}\\
{z = 1 + 2t}
\end{array}} \right..\)
C. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1}\\
{z = 2 + t}
\end{array}} \right..\)
D. \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 2}\\
{y = 1 + t}\\
{z = 2}
\end{array}} \right..\)
Câu 9: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;-1)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{4} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{z}{3}.\)
A. \(\frac{{x – 4}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.\)
B. \(\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}.\)
C. \(\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 1}}{3}.\)
D. \(\frac{{x – 1}}{4} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 1}}{3}.\)
Câu 10: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(A(1;2;4)\) và song song với đường thẳng \(\Delta :\frac{x}{1} = \frac{{y – 1}}{2} = \frac{z}{3}.\)
A. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y + 2}}{2} = \frac{{z + 4}}{3}.\)
B. \(\frac{{x – 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 3}}{3}.\)
C. \(\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 6}}{2} = \frac{{z – 10}}{3}.\)
D. \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 4}}{3}.\)
Câu 11: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), viết phương trình đường thẳng \(d\) qua \(K(3;2;5)\) và vuông góc với mặt phẳng \((P):x + 2y – 2z + 4 = 0.\)
A. \(\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z – 5}}{2}.\)
B. \(\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 5}}{{ – 2}}.\)
C. \(\frac{{x – 3}}{{ – 1}} = \frac{{y – 2}}{{ – 2}} = \frac{{z – 5}}{2}.\)
D. \(\frac{{x – 3}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{{z + 5}}{2}.\)
Câu 12: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(MNPQ\) với \(M(1;0;1)\), \(N(2;1;-1)\), \(P(0;1;2)\), \(Q(0;1;1).\) Viết phương trình đường thẳng \(\Delta \) qua \(P\) và vuông góc với mặt phẳng \((MNP).\)
A. \(\frac{x}{3} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.\)
B. \(\frac{x}{3} = \frac{{y + 1}}{1} = \frac{{z + 1}}{2}.\)
C. \(\frac{x}{{ – 3}} = \frac{{y – 1}}{1} = \frac{{z – 1}}{2}.\)
D. \(\frac{x}{3} = \frac{{y – 1}}{{ – 1}} = \frac{{z – 1}}{2}.\)
Câu 13: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(M(1;0;0)\), \(N(0;0;1)\) và \(P(2;1;1).\) Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm \(M\), \(N\), \(P\) là đường thẳng \(\Delta .\) Gọi \(\vec u = (1;a;b)\)\((a;b \in R)\) là một vec tơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta \), tính \(S=a+b.\)
A. \(S=1.\)
B. \(S=-1.\)
C. \(S=2.\)
D. \(S=-2.\)
Câu 14: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(1;1;0)\), \(B(0;0;1)\) và \(C(2;1;1).\) Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) là đường thẳng \(\Delta .\) Gọi \(\vec u = (a;1;b)\), \((a;b \in R)\), tính \(S = a + b.\)
A. \(S=1.\)
B. \(S=-1.\)
C. \(S=0.\)
D. \(S=-2.\)
Câu 15: Trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\), cho ba điểm \(A(5;3;-1)\), \(B(2;3;-4)\) và \(C(1;2;0).\) Biết tập hợp tất cả các điểm cách đều ba điểm \(A\), \(B\), \(C\) là đường thẳng \(\Delta .\) Gọi \(\vec u = (a;b;1)\) \((a;b \in R)\) là một vectơ chỉ phương của đường thẳng \(\Delta .\) Tính \(S = a+b.\)
A. \(S=1.\)
B. \(S=-1.\)
C. \(S=0.\)
D. \(S= 4.\)
2. BẢNG ĐÁP ÁN
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| Đáp án | D | B | B | D | B |
| Câu | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| Đáp án | A | C | D | B | C |
| Câu | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| Đáp án | C | A | B | C | D |
