Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán thực hiện các phép toán trên tập số phức: cộng, trừ, nhân, chia số phức, tìm phần thực và phần ảo của số phức, tính môđun số phức, số phức liên hợp … đây là dạng toán cơ bản trong chương trình Giải tích 12: Số phức.
I. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
1. Các phép toán trên tập số phức
\((a + bi) + (c + di)\) \( = (a + c) + (b + d)i.\)
\((a + bi) – (c + di)\) \( = (a – c) + (b – d)i.\)
\((a + bi).(c + di)\) \( = (ac – bd) + (bc + ad)i.\)
\(\frac{{a + bi}}{{c + di}}\) \( = \frac{{(a + bi)(c – di)}}{{(c + di)(c – di)}}\) \( = \frac{{(ac + bd) + (bc – ad)i}}{{{c^2} + {d^2}}}.\)
2. Các định nghĩa
Số phức \(z = a + bi\) \(\left( {a,b \in R;{i^2} = – 1} \right)\) có phần thực là \(a\), phần ảo là \(b.\)
\(a + bi = c + di\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = c}\\
{b = d}
\end{array}} \right..\)
\(z = a + bi\) là số thực khi \(b = 0\); \(z= a+bi\) là số thuần ảo khi \(a=0.\)
Số phức \(z=a+bi\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là điểm \(M(a;b).\)
Môđun của số phức \(z = a + bi\) là: \(|z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
Số phức liên hợp của số phức \(z=a+bi\) là số phức \(\bar z = a – bi.\)
II. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MINH HỌA
Ví dụ 1: Cho số phức \(z = a + bi.\) Số phức \({z^2}\) có phần thực là:
A. \(a + b.\)
B. \({a^2} – {b^2}.\)
C. \(a – b.\)
D. \({a^2} + {b^2}.\)
Lời giải:
\(z = a + bi\) \( \Rightarrow {z^2} = {a^2} – {b^2} + 2abi\) có phần thực là \({a^2} – {b^2}.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 2: Mệnh đề nào sau đây là sai?
A. Số phức \(z = a + bi\) được biểu diễn bằng điểm \(M(a;b)\) trong mặt phẳng \(Oxy.\)
B. Số phức \(z = a + bi\) có môđun là \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
C. Số phức \(z = a + bi\) có số phức liên hợp là \(z = – a + bi.\)
D. Số phức \(z = a + bi = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = 0}\\
{b = 0}
\end{array}} \right..\)
Lời giải:
Ta có số phức liên hợp của \(z = a + bi\) là \(\bar z = a – bi.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 3: Cho số phức \(z = a + bi\) \((a,b \in R)\) tùy ý. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Số phức liên hợp của \(z\) có mô đun bằng mô đun của \(iz.\)
B. Mô đun của \(z\) là một số thực dương.
C. \({z^2} = |z{|^2}.\)
D. Điểm \(M( – a;b)\) là điểm biểu diễn của \(\overline z .\)
Lời giải:
Ta có: \(z = a + bi\) \( \Rightarrow \bar z = a – bi\) \( \Rightarrow |\bar z| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
\(iz\) \( = i(a + bi)\) \( = – b + ai\) \( \Rightarrow |iz| = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \) \( \Rightarrow |\bar z| = |iz|.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 4: Cho số phức \(z = 2 – 3i.\) Tìm phần thực \(a\) của \(z\)?
A. \(a=2.\)
B. \(a=3.\)
C. \(a=-2.\)
D. \(a=-3.\)
Lời giải:
Theo định nghĩa số phức \(z = a + bi\) \((a,b \in R)\) có phần thực là \(a\) \( \Rightarrow z = 2 – 3i\) có phần thực \(a=2.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 5: Cho hai số phức \({z_1} = i\) và \({z_2} = 3 + 4i.\) Gọi \(a\) là phần thực của số phức \(z = z_1^{2018} – 2{z_2}.\) Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. \({a^2} – 2a = 100.\)
B. \(a + {a^2} = 72.\)
C. \(a – {a^2} = – 56.\)
D. \({a^2} – a = 42.\)
Lời giải:
\(z = z_1^{2018} – 2{z_2}\) \( = {i^{2018}} – 2(3 + 4i)\) \( = {\left( {{i^2}} \right)^{1009}} – 6 – 8i\) \( = – 7 – 8i.\)
\( \Rightarrow a = – 7\) \( \Rightarrow a – {a^2} = – 56.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 6: Cho số phức \(z = a + bi\) \((a,b \in R).\) Phần thực của số phức \(z.\bar z\) bằng?
A. \({a^2} – {b^2}.\)
B. \({a^2} + {b^2}.\)
C. \({a^2}.\)
D. \({b^2}.\)
Lời giải:
\(z.\bar z\) \( = (a + bi)(a – bi)\) \( = {a^2} + {b^2}\) có phần thực là \({a^2} + {b^2}.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 7: Cho số phức \(z = 2 + i.\) Phần ảo của số phức \({z^3} + 2{z^2}\bar z + 3\) bằng?
A. \(-25.\)
B . \(21i.\)
C. \(21.\)
D. \(25.\)
Lời giải:
\({z^3} + 2{z^2}\bar z + 3\) \( = {(2 + i)^3} + 2{(2 + i)^2}(2 – i) + 3\) \( = 25 + 21i\) có phần ảo bằng \(21.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 8: Cho hai số phức \({z_1} = 3 – 4i\), \({z_2} = 1 + i.\) Tìm phần ảo \(b\) của số \(z = \frac{{{z_1}}}{{{z_2}}} + \left| {{z_1}} \right|{z_2} + 2i.\)
A. \(b = \frac{{15}}{2}i.\)
B. \(b = – \frac{{17}}{2}.\)
C. \(b = \frac{{17}}{2}.\)
D. \(b = \frac{{15}}{2}.\)
Lời giải:
\(z = \frac{{\overline {{z_1}} }}{{{z_2}}} + \left| {{z_1}} \right|{z_2} + 2i\) \( = \frac{{3 + 4i}}{{1 + i}} + |3 – 4i|(1 + i) + 2i\) \( = \frac{{17}}{2} + \frac{{15}}{2}i\) có phần ảo \(b = \frac{{15}}{2}.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 9: Hiệu phần thực và phần ảo của số phức \(z = (1 + 2i)(3 – i)\) là:
A. \(6.\)
B. \(10.\)
C. \(5.\)
D. \(0.\)
Lời giải:
Ta có \(z = 3 – i + 6i – 2{i^2}\) \( = 5 + 5i\) nên hiệu phần thực và phần ảo của \(z\) bằng \(0.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 10: Cho số phức \(z = (m + 1 – 2i)(2m + 3 + i)\) với \(m\) là tham số thực. Tìm tập hợp tất cả các giá trị của \(m\) để \(z\) có phần thực bằng \(5.\)
A. \(\left\{ {0, – \frac{5}{2}} \right\}.\)
B. \(\left\{ {1,\frac{5}{2}} \right\}.\)
C. \(\left\{ { – 1,\frac{3}{2}} \right\}.\)
D. \(\left\{ {2, – \frac{5}{3}} \right\}.\)
Lời giải:
\(z = (m + 1 – 2i)(2m + 3 + i)\) \( = 2{m^2} + 5m + 5 + ( – 3m – 5)i.\)
\(2{m^2} + 5m + 5 = 5\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 0}\\
{m = – \frac{5}{2}}
\end{array}} \right..\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 11: Cho hai số phức \(z = 1 + 3i\), \(w = 2 – i.\) Tìm phần ảo của số phức \(u = \overline z .w.\)
A. \(5i.\)
B. \(-7i.\)
C. \(-7.\)
D. \(5.\)
Lời giải:
\(u = \bar z.w\) \( = (1 – 3i)(2 – i)\) \( = – 1 – 7i\) có phần ảo bằng \(-7.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 12: Cho số phức \(z = 1 – i + {i^3}.\) Tìm phần thực \(a\) và phần ảo \(b\) của \(z.\)
A. \(a =1\), \(b=-2.\)
B. \(a=-2\), \(b=1.\)
C. \(a=1\), \(b=0.\)
D. \(a=0\), \(b=1.\)
Lời giải:
\(z = 1 – i + {i^3} = 1 – 2i\) \( \Rightarrow a = 1\), \(b = – 2.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 13: Cho số phức \(z = 1 + i + {i^2} + \ldots + {i^{2018}}.\) Điểm biểu diễn của số phức \(z\) trên mặt phẳng tọa độ là:
A. \(M(1;0).\)
B. \(N(0;1).\)
C. \(P(1;1).\)
D. \(Q(1;-1).\)
Lời giải:
\(z = 1 + i + {i^2} + \ldots + {i^{2018}}\) \( = 1.\frac{{1 – {i^{2019}}}}{{1 – i}}\) \( = \frac{{1 – {{\left( {{i^2}} \right)}^{1009}}i}}{{1 – i}} = i\) có điểm biểu diễn là \(N(0;1).\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 14: Cho số phức \({z_1} = 1 – 2i\), \({z_2} = – 3 + i.\) Tìm điểm biểu diễn của số phức \(z = {z_1} + {z_2}\) trên mặt phẳng tọa độ.
A. \(N(4;-3).\)
B. \(M(2;-5).\)
C. \(P(-2;-1).\)
D. \(Q(-1;7).\)
Lời giải:
\(z = {z_1} + {z_2}\) \( = (1 – 2i) + ( – 3 + i)\) \( = – 2 – i\) có điểm biểu diễn là \(P(-2;-1).\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 15: Cho số phức \(z = (3 + i)(3 – 2i) + {(2 + i)^3}\) có điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) là \(M(a;b).\) Tính \(T= a + 2b.\)
A. \(T=-29.\)
B. \(T=-3.\)
C. \(T=3.\)
D. \(T= 29.\)
Lời giải:
\(z = (3 + i)(3 – 2i) + {(2 + i)^3}\) \( = 13 + 8i.\)
\( \Rightarrow a = 13\), \(b = 8\) \( \Rightarrow T = a + 2b = 29.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 16: Cho hai số phức \({z_1} = (1 + i)(2 + i) – i\), \({z_2} = {(1 + i)^5}\) có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) lần lượt là \(M\), \(N.\) Tính độ dài đoạn \(MN.\)
A. \(MN = \sqrt {13} .\)
B. \(MN = \sqrt {29} .\)
C. \(MN = 3\sqrt 5 .\)
D. \(MN = \sqrt {61} .\)
Lời giải:
\({z_1} = (1 + i)(2 + i) – i\) \( = 1 + 2i\) \( \Rightarrow M(1;2)\); \({z_2} = {(1 + i)^5} = – 4 – 4i\) \( \Rightarrow N( – 4; – 4).\)
\( \Rightarrow MN\) \( = \sqrt {{{( – 4 – 1)}^2} + {{( – 4 – 2)}^2}} \) \( = \sqrt {61} .\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 17: Cho hai số phức \({z_1} = {(1 + i)^2}\), \({z_2} = \frac{{2 + 4i}}{{{z_1}}}\) có các điểm biểu diễn trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\) lần lượt là \(M\), \(N.\) Tính diện tích \(S\) của tam giác \(OMN.\)
A. \(S=1.\)
B. \(S = \frac{3}{2}.\)
C. \(S = 2.\)
D. \(S = \frac{5}{2}.\)
Lời giải:
\({z_1} = {(1 + i)^2} = 2i\) \( \Rightarrow M(0;2)\); \({z_2} = \frac{{2 + 4i}}{{{z_1}}}\) \( = \frac{{2 + 4i}}{{2i}} = 2 – i\) \( \Rightarrow N(2; – 1).\)
\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\overrightarrow {OM} = (0;2)}\\
{\overrightarrow {ON} = (2; – 1)}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow S = \frac{1}{2}\left| {0 \times ( – 1) – 2 \times 2} \right| = 2.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 18: Cho số phức \(z = 3 – i.\) Tính môđun của số phức \(\omega = {z^2} – (1 + i)z + 2.\)
A. \(|\omega | = 2\sqrt 2 .\)
B. \(|\omega | = 8.\)
C. \(|\omega | = 10.\)
D. \(|\omega | = 100.\)
Lời giải:
\(\omega = {z^2} – (1 + i)z + 2\) \( = {(3 – i)^2} – (1 + i)(3 – i) + 2\) \( = 6 – 8i.\)
\( \Rightarrow |\omega | = \sqrt {{6^2} + {{( – 8)}^2}} = 10.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 19: Cho số phức \(z = 3 + 4i.\) Tính môđun của số phức \(\omega = (z + i)(2 + \bar z) + 3|z|.\)
A. \(|\omega | = 2669.\)
B. \(|\omega | = \sqrt {2669} .\)
C. \(|\omega | = 113.\)
D. \(|\omega | = \sqrt {113} .\)
Lời giải:
\(\omega = (z + i)(2 + \bar z) + 3|z|\) \( = (3 + 4i + i)(2 + 3 – 4i) + 3|3 + 4i|\) \( = 50 + 13i.\)
\( \Rightarrow |\omega | = \sqrt {{{50}^2} + {{13}^2}} = \sqrt {2669} .\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 20: Cho hai số phức \({z_1} = 1 – 2i\), \({z_2} = 3 + i.\) Tính môđun của số phức \(\omega = \left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_1} + \left( {{z_2} + 3} \right)(2 – i).\)
A. \(|\omega | = 394.\)
B. \(|\omega | = \sqrt {394} .\)
C. \(|\omega | = 231.\)
D. \(|\omega | = \sqrt {231} .\)
Lời giải:
\(\omega = \left( {{z_1} + {z_2}} \right){z_1} + \left( {{z_2} + 3} \right)(2 – i).\)
\( = (1 – 2i + 3 + i)(1 – 2i)\) \( + (3 + i + 3)(2 – i)\) \( = 15 – 13i.\)
\( \Rightarrow |\omega | = \sqrt {{{15}^2} + {{( – 13)}^2}} = \sqrt {394} .\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 21: Cho hai số phức \({z_1} = 2 + mi\), \({z_2} = n + i\) \((m,n \in R).\) Tìm số phức liên hợp của số phức \(\omega = 2{z_1} + 3{z_2}.\)
A. \(\bar \omega = 4 + 3n – (2m + 3)i.\)
B. \(\bar \omega = 4 + 3n + (2m + 3)i.\)
C. \(\bar \omega = – 4 – 3n + (2m + 3)i.\)
D. \(\bar \omega = – 4 – 3n – (2m + 3)i.\)
Lời giải:
\(\omega = 2{z_1} + 3{z_2}\) \( = 2(2 + mi) + 3(n + i)\) \( = 4 + 3n + (2m + 3)i.\)
\( \Rightarrow \bar \omega = 4 + 3n – (2m + 3)i.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 22: Cho số phức \(z = 2 + mi\) \((m \in R).\) Tìm số phức liên hợp của số phức \(\omega = (z + 2)(1 + i) + 3i.\)
A. \(\bar \omega = 4 – m + (m + 7)i.\)
B. \(\bar \omega = 4 – m – (m + 7)i.\)
C. \(\bar \omega = – 4 + m – (m + 7)i.\)
D. \(\bar \omega = – 4 + m + (m + 7)i.\)
Lời giải:
\(\omega = (4 + mi)(1 + i) + 3i\) \( = 4 – m + (m + 4)i + 3i\) \( = 4 – m + (m + 7)i.\)
\( \Rightarrow \bar \omega = 4 – m – (m + 7)i.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 23: Cho số phức \(z = 1 + 2i.\) Điểm biểu diễn số phức liên hợp của số phức \(\omega = (\overline {z + i} )(2 + i) – 4i\) trong mặt phẳng tọa độ là?
A. \(M(5;-9).\)
B. \(N(-5;-9).\)
C. \(P(5;9).\)
D. \(Q(-5;9).\)
Lời giải:
\(\omega = (\overline {z + i} )(2 + i) – 4i\) \( = (1 – 3i)(2 + i) – 4i\) \( = 5 – 9i\) \( \Rightarrow \bar \omega = 5 + 9i\) có điểm biểu diễn là \(P(5;9).\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 24: Cho số phức \(z = m + 2i\) \((m \in R).\) Tìm \(m\) để \((z + 3)(1 + 2i)\) là một số thuần ảo.
A. \(m=5.\)
B. \(m=1.\)
C. \(m=-1.\)
D. \(m=-5.\)
Lời giải:
\((z + 3)(1 + 2i)\) \( = (3 + m + 2i)(1 + 2i)\) \( = (m – 1) + (2m + 8)i.\)
\( \Rightarrow (z + 3)(1 + 2i)\) là số thuần ảo khi \(m – 1 = 0\) \( \Leftrightarrow m = 1.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 25: Cho số phức \(z = 3 + mi\) \((m \in R).\) Tìm \(m\) để \((\bar z + 1)(2 – i)\) là một số thực.
A. \(m=8.\)
B. \(m=2.\)
C. \(m=-2.\)
D. \(m=-8.\)
Lời giải:
\((\bar z + 1)(2 – i)\) \( = (4 – mi)(2 – i)\) \( = (8 – m) + ( – 2m – 4)i.\)
\( \Rightarrow (\bar z + 1)(2 – i)\) là số thực khi \( – 2m – 4 = 0\) \( \Leftrightarrow m = – 2.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 26: Cho số phức \(z = m + ni\) \((m,n \in R)\) thỏa mãn \((z + 1)(1 + i) = 3 + 5i.\) Tính \(S = m + 2n.\)
A. \(S=-7.\)
B. \(S=-5.\)
C. \(S=5.\)
D. \(S=7.\)
Lời giải:
\((z + 1)(1 + i) = 3 + 5i\) \( \Leftrightarrow (m + 1 + ni)(1 + i) = 3 + 5i.\)
\( \Leftrightarrow m + 1 – n + (m + 1 + n)i = 3 + 5i.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m + 1 – n = 3}\\
{m + 1 + n = 5}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{m = 3}\\
{n = 1}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow S = m + 2n = 5.\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 27: Tìm tất cả các số thực \(x\), \(y\) sao cho \({x^2} – 1 + yi = – 1 + 2i.\)
A. \(x = \sqrt 2 \), \(y = 2.\)
B. \(x = – \sqrt 2 \), \(y = 2.\)
C. \(x = 0\), \(y = 2.\)
D. \(x = \sqrt 2 \), \(y = – 2.\)
Lời giải:
\({x^2} – 1 + yi = – 1 + 2i\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{{x^2} – 1 = – 1}\\
{y = 2}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 2}
\end{array}} \right..\)
Chọn đáp án C.
Ví dụ 28: Cho \(x,y \in R\) là hai số thực thỏa mãn \(\frac{{x + yi}}{{1 – i}} = 3 + 2i.\) Tính \(S = x + y + xy.\)
A. \(S=-9.\)
B. \(S=-1.\)
C. \(S=1.\)
D. \(S=9.\)
Lời giải:
Ta có: \(\frac{{x + yi}}{{1 – i}} = 3 + 2i\) \( \Leftrightarrow x + yi = (3 + 2i)(1 – i)\) \( \Leftrightarrow x + yi = 5 – i\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 5}\\
{y = – 1}
\end{array}} \right..\)
\( \Rightarrow S = x + y + xy = – 1.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 29: Trên tập số phức cho \((2x + y) + (2y – x)i\) \( = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i\) với \(x,y \in R.\) Tính giá trị của biểu thức \(S=x+y.\)
A. \(S=1.\)
B. \(S=2.\)
C. \(S=-1.\)
D. \(S=-2.\)
Lời giải:
Ta có \((2x + y) + (2y – x)i\) \( = (x – 2y + 3) + (y + 2x + 1)i.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + y = x – 2y + 3}\\
{2y – x = y + 2x + 1}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0}\\
{y = 1}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow S = x + y = 1.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 30: Cho \(x,y \in R\) thỏa mãn \(x + 2y + (2x – y)i\) \( = 2x + y + (x + 2y)i.\) Tính \(S = 2x + 4y.\)
A. \(S=-1.\)
B. \(S=0.\)
C. \(S=1.\)
D. \(S=2.\)
Lời giải:
\(x + 2y + (2x – y)i\) \( = 2x + y + (x + 2y)i.\)
\( \Leftrightarrow (x + 2y – 2x – y)\) \( + (2x – y – x – 2y)i = 0.\)
\( \Leftrightarrow (y – x) + (x – 3y)i = 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = y}\\
{x = 3y}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow x = y = 0\) \( \Rightarrow S = 2x + 4y = 0.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 31: Cho số phức \(z = a + bi\) \((a,b \in R)\) thoả mãn \(z + 2 + i = |z|.\) Tính \(S = 4a + b.\)
A. \(S=4.\)
B. \(S=2.\)
C. \(S=-2.\)
D. \(S=-4.\)
Lời giải:
\(z + 2 + i = |z|\) \( \Leftrightarrow (a + 2) + (b + 1)i\) \( = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + 2 = \sqrt {{a^2} + {b^2}} }\\
{b + 1 = 0}
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{b = – 1}\\
{{{(a + 2)}^2} = {a^2} + 1}\\
{a \ge – 2}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = – \frac{3}{4}}\\
{b = – 1}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow S = 4a + b = – 4.\)
Chọn đáp án D.
Ví dụ 32: Cho số phức \(z = a + bi\) \((a,b \in R)\) có phần thực gấp ba lần phần ảo và thỏa mãn \((z + 1)(2 – i)\) là một số thuần ảo. Tính \(S = a + 4b.\)
A. \(S = – \frac{{26}}{7}.\)
B. \(S = – 2.\)
C. \(S = 2.\)
D. \(S = \frac{{26}}{7}.\)
Lời giải:
\(z = a + bi\) có phần thực gấp ba lần phần ảo \( \Rightarrow a = 3b\) \((1).\)
\((z + 1)(2 – i)\) \( = (a + 1 + bi)(2 – i)\) \( = (2a + b + 2) + (2b – a – 1)i.\)
\((z + 1)(2 – i)\) là số thuần ảo \( \Rightarrow 2a + b + 2 = 0\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) \( \Rightarrow a = – \frac{6}{7}\), \(b = – \frac{2}{7}\) \( \Rightarrow S = a + 4b = – 2.\)
Chọn đáp án B.
Ví dụ 33: Cho hai số phức \({z_1} = 1 + 2i\) và \({z_2} = m – 3 + \left( {{m^2} – 6} \right)i\) \((m \in R).\) Tìm \(S\) là tổng tất cả các giá trị \(m\) để \({z_1} + {z_2}\) là số thực.
A. \(S=0.\)
B. \(S=2.\)
C. \(S=4.\)
D. \(S=-4.\)
Lời giải:
\({z_1} + {z_2} = m – 2 + \left( {{m^2} – 4} \right)i\); \({z_1} + {z_2}\) là số thực \( \Rightarrow {m^2} – 4 = 0\) \( \Leftrightarrow m = 2 \vee m = – 2.\)
\( \Rightarrow S = 2 + ( – 2) = 0.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 34: Cho số phức \(z = a + bi\) \((a,b \in R)\) có phần ảo gấp đôi phần thực và thỏa mãn \((\bar z + 1)(1 – i)\) là một số thực. Tính \(S = 2a + 3b.\)
A. \(S = – \frac{8}{3}.\)
B. \(S = – \frac{7}{3}.\)
C. \(S = \frac{7}{3}.\)
D. \(S = \frac{8}{3}.\)
Lời giải:
\(z = a + bi\) có phần ảo gấp đôi phần thực \( \Rightarrow b = 2a\) \((1).\)
\((\bar z + 1)(1 – i)\) \( = (a + 1 – bi)(1 – i)\) \( = (a + 1 – b) + ( – a – 1 – b)i.\)
\((\bar z + 1)(1 – i)\) là số thực \( \Rightarrow – a – b – 1 = 0\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) \( \Rightarrow a = – \frac{1}{3}\), \(b = – \frac{2}{3}\) \( \Rightarrow S = 2a + 3b = – \frac{8}{3}.\)
Chọn đáp án A.
Ví dụ 35: Cho số phức \(z = a + bi\) \((a,b \in R)\) thỏa mãn \(|z + 1 + i| = |\bar z + 2 + i|\) và \((2z + 1)(1 + i)\) có phần thực bằng phần ảo. Tính \(S = a+3b.\)
A. \(S = – \frac{9}{2}.\)
B. \(S = – \frac{3}{2}.\)
C. \(S = \frac{3}{2}.\)
D. \(S = \frac{9}{2}.\)
Lời giải:
\(|z + 1 + i| = |\bar z + 2 + i|\) \( \Leftrightarrow |a + 1 + (b + 1)i|\) \( = |a + 2 + (1 – b)i|.\)
\( \Leftrightarrow \sqrt {{{(a + 1)}^2} + {{(b + 1)}^2}} \) \( = \sqrt {{{(a + 2)}^2} + {{(1 – b)}^2}} .\)
\( \Leftrightarrow {a^2} + 2a + 1 + {b^2} + 2b + 1\) \( = {a^2} + 4a + 4 + 1 – 2b + {b^2}\) \( \Leftrightarrow 2a – 4b = – 3\) \((1).\)
\((2z + 1)(1 + i)\) \( = (2a + 1 + 2bi)(1 + i)\) \( = (2a + 1 – 2b) + (2a + 1 + 2b)i.\)
\((2z + 1)(1 + i)\) có phần thực bằng phần ảo.
\( \Rightarrow 2a + 1 – 2b = 2a + 1 + 2b\) \( \Rightarrow b = 0\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra \(a = – \frac{3}{2}\), \(b = 0\) \( \Rightarrow S = a + 3b = – \frac{3}{2}.\)
Chọn đáp án B.
