Bài viết hướng dẫn tìm nguyên hàm bằng phương pháp phân tích. Kiến thức và các ví dụ trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu nguyên hàm – tích phân và ứng dụng được đăng tải trên toanmax.vn.
Phương pháp: Để tìm nguyên hàm \(\int {f(x)dx} \), ta phân tích:
\(f(x) = {k_1}.{f_1}(x) + {k_2}.{f_2}(x) + … + {k_n}.{f_n}(x).\)
Trong đó: \({f_1}(x), {f_2}(x), …, {f_n}(x)\) có trong bảng nguyên hàm hoặc ta dễ dàng tìm được nguyên hàm.
Khi đó: \(\int {f(x)dx} = {k_1}\int {{f_1}(x)dx} \) \( + {k_2}\int {{f_2}(x)dx} + … + {k_n}\int {{f_n}(x)dx} .\)
Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Tìm nguyên hàm:
1. \(I = \int {\frac{{2{x^2} + x + 1}}{{x – 1}}dx} .\)
2. \(J = \int {\frac{{{x^3} – 1}}{{x + 1}}dx} .\)
3. \(K = \int {{{\left( {x – \frac{1}{x}} \right)}^3}dx} .\)
1. Ta có: \(\frac{{2{x^2} + x + 1}}{{x – 1}}\) \( = 2x + 3 + \frac{4}{{x – 1}}.\)
Suy ra \(I = \int {(2x + 3 + \frac{4}{{x – 1}})dx} \) \( = {x^2} + 3x + 4\ln \left| {x – 1} \right| + C.\)
2. Ta có: \(\frac{{{x^3} – 1}}{{x + 1}} = \frac{{{x^3} + 1 – 2}}{{x + 1}}\) \( = {x^2} – x + 1 – \frac{2}{{x + 1}}.\)
Suy ra \(J = \int {\left( {{x^2} – x + 1 – \frac{2}{{x + 1}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^3}}}{3} – \frac{{{x^2}}}{2} + x – 2\ln \left| {x + 1} \right| + C.\)
3. Ta có: \({\left( {x – \frac{1}{x}} \right)^3}\) \( = {x^3} – 3x + \frac{3}{x} – \frac{1}{{{x^3}}}.\)
Suy ra \(K = \int {\left( {{x^3} – 3x + \frac{3}{x} – \frac{1}{{{x^3}}}} \right)dx} \) \( = \frac{{{x^4}}}{4} – \frac{{3{x^2}}}{2} + 3\ln \left| x \right| + \frac{1}{{2{x^2}}} + C.\)
Ví dụ 2. Tìm nguyên hàm:
1. \(I = \int {\frac{{dx}}{{{{({x^2} – 1)}^2}}}} .\)
2. \(J = \int {\frac{{{x^3} + 2x + 1}}{{{x^2} + 2x + 1}}dx} .\)
3. \(K = \int {\frac{{2{x^2} + 1}}{{{{(x + 1)}^5}}}dx} .\)
1. Ta có: \(\frac{1}{{{{({x^2} – 1)}^2}}}\) \( = \frac{1}{4}\frac{{{{\left[ {(x + 1) – (x – 1)} \right]}^2}}}{{{{\left[ {(x – 1)(x + 1)} \right]}^2}}}\)
\( = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}} – \frac{2}{{(x – 1)(x + 1)}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]\) \( = \frac{1}{4}\left[ {\frac{1}{{{{(x – 1)}^2}}} – \frac{1}{{x – 1}} + \frac{1}{{x + 1}} + \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right].\)
Suy ra \(I = \frac{1}{4}\left[ { – \frac{1}{{x – 1}} + \ln \left| {\frac{{x + 1}}{{x – 1}}} \right| – \frac{1}{{x + 1}}} \right] + C.\)
2. Ta có: \({x^3} + 2x + 1\) \( = {(x + 1)^3} – 3{(x + 1)^2}\) \( + 5(x + 1) – 2.\)
Suy ra \(J = \int {(x – 2 + \frac{5}{{x + 1}} – \frac{2}{{{{(x + 1)}^2}}})dx} \)
\( = \frac{{{x^2}}}{2} – 2x + 5\ln \left| {x + 1} \right| + \frac{2}{{x + 1}} + C.\)
3. Ta phân tích \(2{x^2} + 1\) \( = 2{(x + 1)^2} – 4(x + 1) + 3.\)
Suy ra:
\(K = \int {\left( {\frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}} – \frac{4}{{{{(x + 1)}^4}}} + \frac{3}{{{{(x + 1)}^5}}}} \right)dx} \)
\( = – \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}} + \frac{4}{{3{{(x + 1)}^3}}} – \frac{3}{{4{{(x + 1)}^4}}} + C.\)
Ví dụ 3. Tìm nguyên hàm:
1. \(I = \int {{{({e^x} + 2{e^{ – x}})}^2}dx} .\)
2. \(J = \int {\frac{{{3^x} + {{4.5}^x}}}{{{7^x}}}dx} .\)
1. Ta có: \({({e^x} + 2{e^{ – x}})^2}\) \( = {e^{2x}} + 4 + 4.{e^{ – 2x}}.\)
Suy ra: \(I = \int {({e^{2x}} + 4 + 4{e^{ – 2x}})dx} \) \( = \frac{1}{2}{e^{2x}} + 4x – 2{e^{ – 2x}} + C.\)
2. \(J = \int {\left( {{{\left( {\frac{3}{7}} \right)}^x} + 4.{{\left( {\frac{5}{7}} \right)}^x}} \right)dx} \) \( = \frac{1}{{\ln \frac{3}{7}}}.{\left( {\frac{3}{7}} \right)^x} + \frac{4}{{\ln \frac{5}{7}}}.{\left( {\frac{5}{7}} \right)^x} + C.\)
[ads]
Ví dụ 4. Tìm nguyên hàm: \(I = \int {\frac{{{{\sin }^4}x}}{{{{\cos }^2}x}}dx} .\)
\(I = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + {{\cos }^2}x – 2} \right)dx} \)
\(I = \tan x – 2x \) \(+ \int {\frac{{dx}}{2}} + \frac{1}{4}\int {\cos 2xd\left( {2x} \right)} \) \( = \tan x – \frac{3}{2}x + \frac{1}{4}\sin 2x + C.\)
Ví dụ 5. Tìm nguyên hàm:
1. \(I = \int {{{\cos }^4}2xdx} .\)
2. \(J = \int {(\cos 3x.\cos 4x + {{\sin }^3}2x)dx} .\)
1. Ta có: \({\cos ^4}2x = \frac{1}{4}{\left( {1 + \cos 4x} \right)^2}\) \( = \frac{1}{4}\left( {1 + 2\cos 4x + {{\cos }^2}4x} \right)\)
\( = \frac{1}{4}\left( {1 + 2\cos 4x + \frac{{1 + \cos 8x}}{2}} \right)\) \( = \frac{1}{8}\left( {3 + 4\cos 4x + \cos 8x} \right)\)
\( \Rightarrow I = \frac{1}{8}\int {(3 + 4\cos 4x + \cos 8x)dx} \) \( = \frac{1}{8}\left( {3x + \sin 4x + \frac{1}{8}\sin 8x} \right) + C.\)
2. Ta có: \(\cos 3x.\cos 4x = \frac{1}{2}\left[ {\cos 7x + \cos x} \right].\)
\({\sin ^3}2x = \frac{3}{4}\sin 2x – \frac{1}{4}\sin 6x.\)
Nên suy ra: \( J = \frac{1}{{14}}\sin 7x + \frac{1}{2}\sin x\) \( – \frac{3}{8}\cos 2x + \frac{1}{{24}}\cos 6x + C.\)
Ví dụ 6. Tìm nguyên hàm:
1. \(I = \int {\left( {\frac{1}{{{{\ln }^2}x}} – \frac{1}{{\ln x}}} \right)dx} .\)
2. \(J = \int {\frac{{x{e^x} + 1}}{{{{(x + {e^x})}^2}}}dx} .\)
1. Ta có: \(\frac{1}{{{{\ln }^2}x}} – \frac{1}{{\ln x}} = \frac{{1 – \ln x}}{{{{\ln }^2}x}}\) \( = \frac{{x(\ln x)’ – (x)’\ln x}}{{{{\ln }^2}x}} = \left( {\frac{x}{{\ln x}}} \right)’.\)
Vậy \(I = \int {\left( {\frac{x}{{\ln x}}} \right)’dx} = \frac{x}{{\ln x}} + C.\)
2. Ta có: \(\frac{{x{e^x} + 1}}{{{{(x + {e^x})}^2}}}\) \( = – \frac{{(x + 1)'(x + {e^x}) – (x + {e^x})'(x + 1)}}{{{{(x + {e^x})}^2}}}\) \( = – \left( {\frac{{x + 1}}{{x + {e^x}}}} \right)’.\)
Suy ra \(J = – \frac{{x + 1}}{{x + {e^x}}} + C.\)
