Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm hệ số hoặc số hạng chứa \({x^h}\) trong khai triển chứa điều kiện, đây là dạng toán thường gặp trong chương trình Đại số và Giải tích 11: Tổ hợp và xác suất.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN
Các bài toán loại này thường chưa biết \(n\) trong khai triển, do đó ta thực hiện các bước:
+ Từ điều kiện bài toán tìm \(n\) (hoặc các ẩn liên quan).
+ Sau đó thực hiện tương tự bài toán tìm hệ số của số hạng chứa \({x^h}\) trong khai triển biết \(n\) đã được đề cập trước đó trên toanmax.vn.
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Cho \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn: \(5C_n^{n – 1} = C_n^3.\) Tìm số hạng chứa \({x^5}\) trong khai triển nhị thức Niu-tơn của \({\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right)^n}\) với \(x \ne 0.\)
Lời giải:
Xét phương trình \(5C_n^{n – 1} = C_n^3.\)
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 3}\\
{n \in Z}
\end{array}} \right..\)
Phương trình \( \Leftrightarrow 5.\frac{{n!}}{{(n – 1)!}} = \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}}\) \( \Leftrightarrow 5n = \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6}.\)
\( \Leftrightarrow 30 = {n^2} – 3n + 2\) \( \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 7}\\
{n = – 4\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..\)
Khi đó: \({\left( {\frac{{n{x^2}}}{{14}} – \frac{1}{x}} \right)^n}\) \( = {\left( {\frac{{{x^2}}}{2} – \frac{1}{x}} \right)^7}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k} {\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)^{7 – k}}.{\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là:
\({T_{k + 1}}\) \( = C_7^k{\left( {\frac{{{x^2}}}{2}} \right)^{7 – k}}.{\left( { – \frac{1}{x}} \right)^k}\) \( = C_7^k.\frac{{{x^{14 – 2k}}}}{{{2^{7 – k}}}}.\frac{{{{( – 1)}^k}}}{{{x^k}}}\) \( = C_7^k.\frac{{{{( – 1)}^k}}}{{{2^{7 – k}}}}.{x^{14 – 3k}}.\)
Nếu hạng tử \({T_{k + 1}}\) chứa \({x^5}\) thì: \(14 – 3k = 5\) \( \Leftrightarrow k = 3.\)
Vậy số hạng chứa \({x^5}\) là số hạng thứ \(4\) trong khai triển là:
\({T_6} = C_7^3.\frac{{{{( – 1)}^3}}}{{{2^4}}}.{x^5} = – \frac{{35}}{{16}}{x^5}.\)
Bài 2: Tìm hệ số của số hạng chứa \({x^{10}}\) trong khai triển nhị thức Niutơn của \({(2 + x)^n}\), biết \({3^n}C_n^0 – {3^{n – 1}}C_n^1\) \( + {3^{n – 2}}C_n^2 – {3^{n – 3}}C_n^3\) \( + … + {( – 1)^n}C_n^n = 2048.\)
Lời giải:
Ta có: \({(3 + x)^n}\) \( = C_n^0{3^n} + C_n^1{3^{n – 1}}x\) \( + C_n^2{3^{n – 2}}{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Chọn \(x = – 1\), ta được:
\({3^n}C_n^0 – {3^{n – 1}}C_n^1\) \( + {3^{n – 2}}C_n^2 – {3^{n – 3}}C_n^3\) \( + … + {( – 1)^n}C_n^n\) \( = {(3 – 1)^n} = {2^n}.\)
Từ giả thiết suy ra: \({2^n} = 2048 = {2^{11}}\) \( \Leftrightarrow n = 11.\)
Suy ra: \({(2 + x)^n}\) \( = {(2 + x)^{11}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k} {2^{11 – k}}{x^k}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{11}^k{2^{11 – k}}{x^k}.\)
Cho \(k =10\), ta được hệ số của \({x^{10}}\) trong khai triển là: \(C_{11}^{10}.2 = 22.\)
Bài 3: Trong khai triển nhị thức \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^n}\), hệ số của số hạng thứ ba lớn hơn hệ số của số hạng thứ hai là \(35.\) Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển nói trên (với \(n \in {N^*}\)).
Lời giải:
Ta có: \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^n}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^{n – k}}{\left( {\frac{1}{x}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {x^{n – 2k}}.\)
Hệ số của số hạng thứ \(k + 1\) trong khai triển là: \({T_{k + 1}} = C_n^k.\)
Theo giả thiết ta có: \(C_n^2 – C_n^1 = 35\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 2,n \in N}\\
{\frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} – n = 35}
\end{array}} \right..\)
\( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 2,n \in N}\\
{\frac{{n(n – 1)}}{2} – n = 35}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 2,n \in N}\\
{{n^2} – 3n – 70 = 0}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow n = 10.\)
Do đó: \({\left( {x + \frac{1}{x}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{10 – 2k}}.\)
Số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{10}^k\) với \(10 – 2k = 0\) \( \Leftrightarrow k = 5.\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{10}^5 = 252.\)
Bài 4: Tìm số hạng không chứa \(x\) trong khai triển nhị thức \({\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\), biết rằng \(C_n^1 + C_n^3 = 13n\) (\(n\) là số tự nhiên lớn hơn \(2\) và \(x\) là số thực khác \(0\)).
Lời giải:
Ta có: \(C_n^1 + C_n^3 = 13n\) \( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{(n – 1)!}} + \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}} = 13n\) \( \Leftrightarrow n + \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6} = 13n.\)
\( \Leftrightarrow 1 + \frac{{(n – 1)(n – 2)}}{6} = 13\) \( \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 70 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 10}\\
{n = – 7\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..\)
Do đó: \({\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^n}\) \( = {\left( {{x^2} + \frac{1}{{{x^3}}}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^2}} \right)^{10 – k}}{\left( {{x^{ – 3}}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{20 – 5k}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển \(C_{10}^k{x^{20 – 5k}}.\)
Hệ số không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{10}^k\) với \(k\) thỏa mãn \(20 – 5k = 0\) \( \Leftrightarrow k = 4.\)
Vậy số hạng không chứa \(x\) trong khai triển là: \(C_{10}^4 = 210.\)
Bài 5: Khai triển biểu thức \({(1 – 2x)^n}\) ta được đa thức có dạng \({a_0} + {a_1}x + {a_2}{x^2} + \ldots + {a_n}{x^n}.\) Tìm hệ số của \({x^5}\) biết rằng: \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 71.\)
Lời giải:
Ta có: \({(1 – 2x)^n}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{( – 2x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} .{( – 2)^k}{x^k}.\)
Do đó: \({a_k} = C_n^k.{( – 2)^k}\), \(\forall k = \overline {0..n} .\)
Khi đó \({a_0} + {a_1} + {a_2} = 71\) \( \Leftrightarrow C_n^0 – 2C_n^1 + 4C_n^2 = 71.\)
\( \Leftrightarrow 1 – 2n + 4\frac{{n(n – 1)}}{2} = 71\) \( \Leftrightarrow {n^2} + 2n – 35 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 5}\\
{n = – 7\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..\)
Suy ra: \({(1 – 2x)^7}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^7 {C_7^k.} {( – 2)^k}.{x^k}.\)
Vậy hệ số của \({x^5}\) trong khai triển là: \(C_7^5{( – 2)^5} = – 672.\)
Bài 6: Tìm hệ số của \({x^{26}}\) trong khai triển nhị thức Newton của \({\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}\), biết rằng \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n\) \( = {2^{20}} – 1.\)
Lời giải:
Xét khai triển \({(1 + x)^{2n + 1}}\) \( = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x\) \( + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}\) \( + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.\)
Chọn \(x = 1\), ta được: \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1\) \( + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3\) \( + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}\) \((*).\)
Áp dụng công thức \(C_{2n + 1}^k = C_{2n + 1}^{2n + 1 – k}\), ta có:
\((*) \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1\) \( + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n\) \( + C_{2n + 1}^n + C_{2n + 1}^{n – 1}\) \( + \ldots + C_{2n + 1}^0 = {2^{2n + 1}}.\)
\( \Leftrightarrow 2\left( {C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n} \right) = {2^{2n + 1}}.\)
\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n = {2^{2n}}.\)
\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^2 + \ldots + C_{2n + 1}^n\) \( = {2^{2n}} – 1.\)
Từ giả thiết ta có: \({2^{2n}} – 1 = {2^{20}} – 1\) \( \Leftrightarrow n = 10.\)
Khi đó: \({\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^n}\) \( = {\left( {\frac{1}{{{x^4}}} + {x^7}} \right)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {{x^{ – 4}}} \right)^{10 – k}}{\left( {{x^7}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {x^{11k – 40}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{10}^k{x^{11k – 40}}.\)
Hệ số của \({x^{26}}\) trong khai triển là \(C_{10}^k\) với \(k\) thỏa mãn \(11k – 40 = 26\) \( \Leftrightarrow k = 6.\)
Vậy hệ số của \({x^{26}}\) trong khai triển là \(C_{10}^6 = 210.\)
Bài 7: Tìm hệ số chứa \({x^7}\) trong khai triển thành đa thức của \({(2 – 3x)^{2n}}\), trong đó \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn: \(C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3\) \( + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = 1024.\)
Lời giải:
Ta có: \({(1 + x)^{2n + 1}}\) \( = C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1x\) \( + C_{2n + 1}^2{x^2} + C_{2n + 1}^3{x^3}\) \( + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}{x^{2n + 1}}.\)
Chọn \(x = 1\), ta được: \(C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^1\) \( + C_{2n + 1}^2 + C_{2n + 1}^3\) \( + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n + 1}}\) \((*).\)
Chọn \(x = -1\), ta được: \(C_{2n + 1}^0 – C_{2n + 1}^1\) \( + C_{2n + 1}^2 – C_{2n + 1}^3\) \( + \ldots – C_{2n + 1}^{2n + 1} = 0.\)
\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^0 + C_{2n + 1}^2\) \( + C_{2n + 1}^4 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n}\) \( = C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3\) \( + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}.\)
Từ \((*)\) suy ra: \(2\left( {C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3 + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1}} \right)\) \( = {2^{2n + 1}}.\)
\( \Leftrightarrow C_{2n + 1}^1 + C_{2n + 1}^3\) \( + C_{2n + 1}^5 + \ldots + C_{2n + 1}^{2n + 1} = {2^{2n}}.\)
Theo giả thiết ta có: \({2^{2n}} = 1024 = {2^{10}}\) \( \Leftrightarrow n = 5.\)
Từ đó suy ra: \({(2 – 3x)^{2n}}\) \( = {(2 – 3x)^{10}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{{( – 1)}^k}} C_{10}^k{2^{10 – k}}{(3x)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {{{( – 1)}^k}} {.3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}{x^k}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \({( – 1)^k}{.3^k}.C_{10}^k{2^{10 – k}}.{x^k}.\)
Để có hệ số chứa \({x^7}\) tương ứng với giá trị của \(k\) thỏa mãn \(k =7.\)
Vậy hệ số chứa \({x^7}\) trong khai triển là: \({( – 1)^7}{.3^7}.C_{10}^7{.2^3}\) \( = – C_{10}^7{3^7}{2^3} = 2099520.\)
Bài 8: Tìm hệ số chứa \({x^8}\) trong khai triển nhị thức Newton \({\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}\), biết rằng \(C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n\) \( = 7(n + 3)\) (\(n\) nguyên dương, \(x/>0\)).
Lời giải:
Ta có: \(C_{n + 4}^{n + 1} – C_{n + 3}^n\) \( = 7(n + 3)\) \( \Leftrightarrow \frac{{(n + 4)!}}{{3!(n + 1)!}} + \frac{{(n + 3)!}}{{3!n!}}\) \( = 7(n + 3).\)
\( \Leftrightarrow \frac{{(n + 4)(n + 3)(n + 2)}}{6}\) \( – \frac{{(n + 3)(n + 2)(n + 1)}}{6}\) \( = 7(n + 3).\)
\( \Leftrightarrow \frac{{(n + 4)(n + 2)}}{6}\) \( – \frac{{(n + 2)(n + 1)}}{6} = 7\) \( \Leftrightarrow (n + 4)(n + 2) – (n + 2)(n + 1) = 42.\)
\( \Leftrightarrow 3n + 6 = 42\) \( \Leftrightarrow n = 12.\)
Khi đó: \({\left( {\frac{1}{{{x^3}}} + \sqrt {{x^5}} } \right)^n}\) \( = {\left( {{x^{ – 3}} + {x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12}}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k} {\left( {{x^{ – 3}}} \right)^k}{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12 – k}}.\)
Số hạng tổng quát trong khai triển là: \(C_{12}^k{\left( {{x^{ – 3}}} \right)^k}{\left( {{x^{\frac{5}{2}}}} \right)^{12 – k}}\) \( = C_{12}^k{x^{\frac{{60 – 11k}}{2}}}.\)
Để có hệ số chứa \({x^8}\) thì \(\frac{{60 – 11k}}{2} = 8\) \( \Leftrightarrow 60 – 11k = 16\) \( \Leftrightarrow k = 4.\)
Vậy hệ số chứa \({x^8}\) trong khai triển là \(C_{12}^4 = \frac{{12!}}{{4!(12 – 4)!}} = 495.\)
Bài 9: Cho khai triển \({\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}} + {2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^n}\) \( = C_n^0{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^n}\) \( + C_n^1{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^{n – 1}}\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)\) \( + \ldots + C_n^{n – 1}\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right){\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^{n – 1}}\) \( + C_n^n{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^n}\) (\(n\) là số nguyên dương). Biết rằng trong khai triển đó có \(C_n^3 = 5C_n^1\) và số hạng thứ tư bằng \(140.\) Tìm \(n\) và \(x.\)
Lời giải:
Xét phương trình \({C_n^3 = 5C_n^1}\) (điều kiện \({n \ge 3}\)).
Ta có: \(C_n^3 = 5C_n^1\) \( \Leftrightarrow \frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}} = 5\frac{{n!}}{{(n – 1)!}}\) \( \Leftrightarrow \frac{{n(n – 1)(n – 2)}}{6} = 5n.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{(n – 1)(n – 2)}}{6} = 5\) \( \Leftrightarrow {n^2} – 3n – 28 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 7}\\
{n = – 4\,\,({\rm{loại}})}
\end{array}} \right..\)
Số hạng thứ tư trong khai triển là: \(C_n^3{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^{n – 3}}{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^3}\) \( = C_7^3{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^4}{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^3}.\)
Theo đề bài ta có: \(C_7^3{\left( {{2^{\frac{{x – 1}}{2}}}} \right)^4}{\left( {{2^{\frac{{ – x}}{3}}}} \right)^3} = 140\) \( \Leftrightarrow {35.2^{2x – 2}}{.2^{ – x}} = 140\) \( \Leftrightarrow {2^{x – 2}} = 4\) \( \Leftrightarrow x – 2 = 2\) \( \Leftrightarrow x = 4.\)
Vậy \(n = 7\) và \(x = 4.\)
Bài 10: Với \(n\) là số nguyên dương, gọi \({a_{3n – 3}}\) là hệ số của \({x^{3n – 3}}\) trong khai triển thành đa thức của \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}.\) Tìm \(n\) để \({a_{3n – 3}} = 26n.\)
Lời giải:
Ta có: \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}\) \( = C_n^0{x^{2n}} + C_n^1{x^{2n – 2}}\) \( + C_n^2{x^{2n – 4}} + \ldots + C_n^n\) \((1).\)
Và \({(x + 2)^n}\) \( = C_n^0{x^n} + 2C_n^1{x^{n – 1}}\) \( + {2^2}C_n^2{x^{n – 2}} + {2^3}C_n^3{x^{n – 3}}\) \( + \ldots + {2^n}C_n^n\) \((2).\)
Với \(n = 1\), ta có: \({\left( {{x^2} + 1} \right)^n}{(x + 2)^n}\) \( = \left( {{x^2} + 1} \right)(x + 2)\) \( = {x^3} + 2{x^2} + x + 2\) không thỏa mãn hệ thức \({a_{3n – 3}} = 26n.\)
Tương tự với \(n = 2\), cũng không thỏa mãn.
Với \(n \ge 3\), ta có: \({x^{3n – 3}} = {x^{2n}}.{x^{n – 3}}\) \( = {x^{2n – 2}}.{x^{n – 1}}.\)
Suy ra hệ số chứa \({x^{3n – 3}}\) bằng tổng của tích hệ số chứa \({x^{2n}}\) trong \((1)\) với hệ số chứa \({x^{n – 3}}\) trong \((2)\) và tích hệ số chứa \({x^{2n – 2}}\) trong \((1)\) với hệ số chứa \({x^{n – 1}}\) trong \((2).\)
Hay ta có: \({a_{3n – 3}} = {2^3}.C_n^0.C_n^3 + 2.C_n^1.C_n^1\) \( \Leftrightarrow {2^3}.1.\frac{{n!}}{{3!(n – 3)!}} + 2{n^2} = 26n.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{4n(n – 1)(n – 2)}}{3} + 2{n^2} = 26n\) \( \Leftrightarrow \frac{{2(n – 1)(n – 2)}}{3} + n = 13.\)
\( \Leftrightarrow 2{n^2} – 3n – 35 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 5}\\
{n = – \frac{7}{2}\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..\)
Vậy \(n = 5.\)
