Ngoài những ứng dụng của tích phân để tính diện tích và thể tích mà chúng ta đã được tìm hiểu trong chương trình Giải tích 12, thì tích phân còn có nhiều ứng dụng quan trọng khác trong giải toán; bài viết dưới đây trình bày ứng dụng của tích phân để tính tổng biểu thức tổ hợp.
1. PHƯƠNG PHÁP VÀ DẤU HIỆU
Phương pháp chung:
+ Xét khai triển \(f(x) = {(a \pm bx)^n}.\)
+ Tính tích phân hai vế của khai triển với các cận được chọn thích hợp.
+ Chọn \(a\), \(b\), \(x\) thích hợp.
Dấu hiệu nhận biết:
+ Xuất hiện số hạng tổng quát dạng: \(\frac{{C_n^k}}{{k + 1}}\) hoặc \(\frac{{C_n^k}}{{(n – k + 1)}}\) thì tích phân thường có dạng: \(\int_0^1 f (x)dx.\)
+ Xuất hiện số hạng tổng quát dạng: \(\frac{{C_n^k\left( {{\alpha ^k} – {\beta ^k}} \right)}}{{k + 1}}\) hoặc \(\frac{{C_n^k\left( {{\alpha ^k} – {\beta ^k}} \right)}}{{(n – k + 1)}}\) thì tích phân thường có dạng: \(\int_\beta ^\alpha f (x)dx.\)
Lưu ý: Ngoài việc tính tích phân của khai triển \(f(x) = {(a \pm bx)^n}\) thì một số bài toán còn nhân thêm \(2\) vế của khai triển với một đại lượng \(g(x)\) nào đó. Trong trường hợp này ta nên xem xét sự chênh lệch giữa \(k\) ở \(C_n^k\) và mẫu \(h\) ở \(\frac{{C_n^k}}{h}\) mà nhân thêm hoặc chia bớt đi thích hợp.
2. BÀI TẬP ÁP DỤNG
Bài 1: Chứng minh rằng: \(\frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3\) \( + \frac{1}{6}C_{2n}^5 + … + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n – 1}\) \( = \frac{{{2^{2n}} – 1}}{{2n + 1}}\) (với \(n \in Z_ + ^*\)).
Lời giải:
Ta có: \({(1 + x)^{2n}}\) \( = C_{2n}^0 + C_{2n}^1x\) \( + C_{2n}^2{x^2} + C_{2n}^3{x^3}\) \( + \ldots + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\) \((1).\)
\({(1 – x)^{2n}}\) \( = C_{2n}^0 – C_{2n}^1x\) \( + C_{2n}^2{x^2} – C_{2n}^3{x^3}\) \( + \ldots + C_{2n}^{2n}{x^{2n}}\) \((2).\)
Xét hàm số: \(f(x) = \frac{{{{(1 + x)}^{2n}} – {{(1 – x)}^{2n}}}}{2}\) \((3).\)
Từ \((1)\), \((2)\) và \((3)\) suy ra: \(f(x) = C_{2n}^1x + C_{2n}^3{x^3}\) \( + C_{2n}^5{x^5} + \ldots + C_{2n}^{2n – 1}{x^{2n – 1}}\) \((4).\)
Từ \((3)\) ta có: \(\int_0^1 f (x)dx\) \( = \int_0^1 {\left( {\frac{{{{(1 + x)}^{2n}} – {{(1 – x)}^{2n}}}}{2}} \right)dx} \) \( = \left. {\left( {\frac{{{{(1 + x)}^{2n + 1}} + {{(1 – x)}^{2n + 1}}}}{{2(2n + 1)}}} \right)} \right|_0^1\) \( = \frac{{{2^{2n + 1}} – 2}}{{2(2n + 1)}}\) \( = \frac{{{2^{2n}} – 1}}{{2n + 1}}\) \((5).\)
Từ \((4)\) ta có: \(\int_0^1 f (x)dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_{2n}^1x + C_{2n}^3{x^3} + C_{2n}^5{x^5} + \ldots + C_{2n}^{2n – 1}{x^{2n – 1}}} \right)dx} .\)
\( = \left. {\left( {C_{2n}^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_{2n}^3\frac{{{x^4}}}{4} + C_{2n}^5\frac{{{x^6}}}{6} + \ldots + C_{2n}^{2n – 1}\frac{{{x^{2n}}}}{{2n}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( = \frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3 + \frac{1}{6}C_{2n}^5 + \ldots + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n – 1}\) \((6).\)
Từ \((5)\) và \((6)\) suy ra \(\frac{1}{2}C_{2n}^1 + \frac{1}{4}C_{2n}^3\) \( + \frac{1}{6}C_{2n}^5 + … + \frac{1}{{2n}}C_{2n}^{2n – 1}\) \( = \frac{{{2^{2n}} – 1}}{{2n + 1}}.\)
Bài 2:
1) Tính tổng \(S = C_n^1 – 2C_n^2\) \( + 3C_n^3 – 4C_n^4\) \( + \ldots + {( – 1)^{n – 1}}nC_n^n\) \((n /> 2).\)
2) Tính tổng \(T = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1\) \( + \frac{1}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.\) Biết rằng \(n\) là số nguyên dương thỏa mãn điều kiện: \(C_n^n + C_n^{n – 1} + C_n^{n – 2} = 79.\)
Lời giải:
1) Xét khai triển \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2}\) \( + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Đạo hàm \(2\) vế ta được: \(n{(1 + x)^{n – 1}}\) \( = C_n^1 + 2C_n^2x + 3C_n^3{x^2}\) \( + \ldots + nC_n^n{x^{n – 1}}.\)
Chọn \(x= -1\) ta được: \(0 = C_n^1 – 2C_n^2 + 3C_n^3 – 4C_n^4\) \( + \ldots + {( – 1)^{n – 1}}nC_n^n.\)
Vậy \(S = 0.\)
2) Ta có: \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Suy ra \(\int_0^1 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + C_n^3{x^3} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx} .\)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1\) \( = \left. {\left( {C_n^0x + \frac{1}{2}C_n^1{x^2} + \frac{1}{3}C_n^2{x^3} + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{x^{n + 1}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.\)
Suy ra: \(T = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Mặt khác ta có: \(C_n^n + C_n^{n – 1} + C_n^{n – 2} = 79.\)
Điều kiện: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n \ge 2}\\
{n \in N}
\end{array}} \right..\)
\(C_n^n + C_n^{n – 1} + C_n^{n – 2} = 79\) \( \Leftrightarrow 1 + \frac{{n!}}{{(n – 1)!}} + \frac{{n!}}{{2!(n – 2)!}} = 79.\)
\( \Leftrightarrow 1 + n + \frac{{n(n – 1)}}{2} = 79\) \( \Leftrightarrow {n^2} + n – 156 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{n = 12}\\
{n = – 13\,\,{\rm{(loại)}}}
\end{array}} \right..\)
Vậy \(T = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = \frac{{{2^{13}} – 1}}{{13}} = \frac{{8191}}{{13}}.\)
Bài 3: Cho \(n\) là số nguyên dương. Tính tổng \(C_n^0 + \frac{{{2^2} – 1}}{2}C_n^1\) \( + \frac{{{2^3} – 1}}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}C_n^n.\)
Lời giải:
Xét khai triển \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Suy ra: \(\int_1^2 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_1^2 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx.} \)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{1}{{n + 1}}{{(1 + x)}^{n + 1}}} \right|_1^2\) \( = \left. {\left( {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)} \right|_1^2.\)
\( \Leftrightarrow C_n^0 + \frac{{{2^2} – 1}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3} – 1}}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{{{3^{n + 1}} – {2^{n + 1}}}}{{n + 1}}.\)
Bài 4: Với mỗi số tự nhiên \(n\), hãy tính tổng \(S = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1.2\) \( + \frac{1}{3}C_n^2{.2^2} + \frac{1}{4}C_n^3{.2^3}\) \( + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{.2^n}.\)
Lời giải:
Xét khai triển \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Suy ra: \(\int_0^2 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_0^2 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)} .\)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^2\) \( = \left. {\left[ {C_n^0x + \frac{{C_n^1{x^2}}}{2} + \frac{{C_n^2{x^3}}}{3} + \ldots + \frac{{C_n^n{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right]} \right|_0^2.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = C_n^0.2 + \frac{{C_n^1{{.2}^2}}}{2}\) \( + \frac{{C_n^2{{.2}^3}}}{3} + \ldots + \frac{{C_n^n{{.2}^{n + 1}}}}{{n + 1}}.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = 2.\left( {C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1.2 + \frac{1}{3}C_n^2{{.2}^2} + \frac{1}{4}C_n^3{{.2}^3} + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{{.2}^n}} \right).\)
\( \Leftrightarrow C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1.2\) \( + \frac{1}{3}C_n^2{.2^2} + \frac{1}{4}C_n^3{.2^3}\) \( + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n{.2^n}\) \( = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{2(n + 1)}}.\)
Vậy \(S = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{2(n + 1)}}.\)
Bài 5:
1) Tính tích phân: \(I = \int_0^1 {{{(x + 2)}^6}} dx.\)
2) Tính tổng \(S = \frac{{{2^6}}}{1}C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}C_6^1\) \( + \frac{{{2^4}}}{3}C_6^2 + \frac{{{2^3}}}{4}C_6^3\) \( + \frac{{{2^2}}}{5}C_6^4 + \frac{2}{6}C_6^5 + \frac{1}{7}C_6^6.\)
Lời giải:
1) Ta có: \(I = \int_0^1 {{{(x + 2)}^6}} dx\) \( = \left. {\frac{{{{(x + 2)}^7}}}{7}} \right|_0^1\) \( = \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}\) \( = \frac{{2059}}{7}\) \((1).\)
2) Mặt khác ta có: \(I = \int_0^1 {{{(x + 2)}^6}} dx\) \( = \int_0^1 {{{(2 + x)}^6}} dx.\)
\( = \int_0^1 {\left( {C_6^0{2^6} + C_6^1{2^5}x + C_6^2{2^4}{x^2} + C_6^3{2^3}{x^3} + C_6^4{2^2}{x^4} + C_6^52{x^5} + C_6^6{x^6}} \right)dx.} \)
\( = \left[ {\frac{{{2^6}}}{1}C_6^0x + \frac{{{2^5}}}{2}C_6^1{x^2} + \frac{{{2^4}}}{3}C_6^2{x^3} + \frac{{{2^3}}}{4}C_6^3{x^4} + \frac{{{2^2}}}{5}C_6^4{x^5} + \frac{2}{6}C_6^5{x^6} + \frac{1}{7}C_6^6{x^7}} \right]_0^1.\)
\( = \frac{{{2^6}}}{1}C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}C_6^1\) \( + \frac{{{2^4}}}{3}C_6^2 + \frac{{{2^3}}}{4}C_6^3\) \( + \frac{{{2^2}}}{5}C_6^4 + \frac{2}{6}C_6^5 + \frac{1}{7}C_6^6\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(S = \frac{{2059}}{7}.\)
Bài 6: Tính tích phân \(I = \int_0^1 x {\left( {1 – {x^2}} \right)^n}dx\) \(\left( {n \in {N^*}} \right).\) Từ đó chứng minh rằng: \(\frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{4}C_n^1\) \( + \frac{1}{6}C_n^2 – \frac{1}{8}C_n^3\) \( + \ldots + \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{2(n + 1)}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{2(n + 1)}}.\)
Lời giải:
Đặt \(t = 1 – {x^2}\) \( \Rightarrow dt = – 2xdx\) \( \Rightarrow xdx = – \frac{{dt}}{2}.\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\
{x = 1 \Rightarrow t = 0}
\end{array}} \right..\)
Suy ra: \(I = \int_1^0 {\left( { – \frac{1}{2}{t^n}} \right)dt} \) \( = \frac{1}{2}\int_0^1 {{t^n}} dt\) \( = \left. {\frac{1}{{2(n + 1)}}{t^{n + 1}}} \right|_0^1\) \( = \frac{1}{{2(n + 1)}}\) \((1).\)
Mặt khác ta có:
\(I = \int_0^1 x {\left( {1 – {x^2}} \right)^n}dx\) \( = \int_0^1 x \left( {C_n^0 – C_n^1{x^2} + C_n^2{x^4} – C_n^3{x^6} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n{x^{2n}}} \right)dx.\)
\( = \left. {\left( {C_n^0.\frac{{{x^2}}}{2} – C_n^1.\frac{{{x^4}}}{4} + C_n^2.\frac{{{x^6}}}{6} – C_n^3.\frac{{{x^8}}}{8} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n.\frac{{{x^{2n + 2}}}}{{2n + 2}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( = \frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{4}C_n^1\) \( + \frac{1}{6}C_n^2 – \frac{1}{8}C_n^3\) \( + \ldots + \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{2(n + 1)}}C_n^n\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{4}C_n^1\) \( + \frac{1}{6}C_n^2 – \frac{1}{8}C_n^3\) \( + \ldots + \frac{{{{( – 1)}^n}}}{{2(n + 1)}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{2(n + 1)}}.\)
Bài 7: Tính tổng \(S = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.\)
Lời giải:
Xét khai triển \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Lấy tích phân từ \(0\) đến \(1\) hai vế ta được:
\(\int_0^1 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx.} \)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1\) \( = \left. {\left( {C_n^0x + C_n^1.\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2.\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + C_n^n.\frac{{{x^n}}}{2}} \right)} \right|_0^1.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = C_n^0 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n.\)
Vậy \(S = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Bài 8: Chứng minh đẳng thức sau: \(\frac{{{2^6}}}{1}.C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}.C_6^1\) \( + \frac{{{2^4}}}{3}.C_6^2 + \ldots + \frac{1}{7}.C_6^6\) \( = \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}.\)
Lời giải:
Xét khai triển: \({(2 + x)^6}\) \( = {2^6}C_6^0 + {2^5}xC_6^1\) \( + {2^4}{x^2}C_6^2 + \ldots + {x^6}C_6^6.\)
\( \Rightarrow \int_0^1 {{{(2 + x)}^6}} dx\) \( = \int_0^1 {\left( {{2^6}C_6^0 + {2^5}xC_6^1 + {2^4}{x^2}C_6^2 + \ldots + {x^6}C_6^6} \right)dx.} \)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{1}{7}{{(2 + x)}^7}} \right|_0^1\) \( = \left. {\left( {{2^6}C_6^0x + {2^5}\frac{{{x^2}}}{2}C_6^1 + {2^4}\frac{{{x^3}}}{3}C_6^2 + \ldots + \frac{{{x^7}}}{7}C_6^6} \right)} \right|_0^1.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}\) \( = \frac{{{2^6}}}{1}.C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}.C_6^1\) \( + \frac{{{2^4}}}{3}.C_6^2 + \ldots + \frac{1}{7}.C_6^6.\)
Vậy \(\frac{{{2^6}}}{1}.C_6^0 + \frac{{{2^5}}}{2}.C_6^1\) \( + \frac{{{2^4}}}{3}.C_6^2 + \ldots + \frac{1}{7}.C_6^6\) \( = \frac{{{3^7} – {2^7}}}{7}.\)
Bài 9:
1) Tính \(\int_0^1 {{x^2}} {\left( {1 + {x^3}} \right)^n}dx.\)
2) Chứng minh: \(\frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{6}C_n^1 + \frac{1}{9}C_n^2 + \ldots + \frac{1}{{3n + 3}}C_n^n\) \( = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{3n + 3}}.\)
Lời giải:
1) Ta có: \(I = \int_0^1 {{x^2}} {\left( {1 + {x^3}} \right)^n}dx\) \( = \frac{1}{3}\int_0^1 {{{\left( {1 + {x^3}} \right)}^n}} d\left( {1 + {x^3}} \right)\) \( = \left. {\frac{{{{\left( {1 + {x^3}} \right)}^{n + 1}}}}{{3(n + 1)}}} \right|_0^1\) \( = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{3n + 3}}\) \((1).\)
2) Mặt khác ta có: \({x^2}{\left( {1 + {x^3}} \right)^n}\) \( = {x^2}\left( {C_n^0 + C_n^1{x^3} + C_n^2{x^6} + \ldots + C_n^n{x^{3n}}} \right)\) \( = C_n^0{x^2} + C_n^1{x^5} + C_n^2{x^8} + \ldots + C_n^n{x^{3n + 2}}.\)
Suy ra: \(I = \int_0^1 {{x^2}} {\left( {1 + {x^3}} \right)^n}dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_n^0{x^2} + C_n^1{x^5} + C_n^2{x^8} + \ldots + C_n^n{x^{3n + 2}}} \right)dx} .\)
\( = \left. {\left( {C_n^0\frac{{{x^3}}}{3} + C_n^1\frac{{{x^6}}}{6} + C_n^2\frac{{{x^9}}}{9} + \ldots + C_n^n\frac{{{x^{3n + 3}}}}{{3n + 3}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( = \frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{6}C_n^1 + \frac{1}{9}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{1}{{3n + 3}}C_n^n\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\frac{1}{3}C_n^0 + \frac{1}{6}C_n^1 + \frac{1}{9}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{1}{{3n + 3}}C_n^n\) \( = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{3n + 3}}.\)
Bài 10: Cho \(n\) là số nguyên dương. Chứng minh: \(1 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Lời giải:
Ta có: \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2}\) \( + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Suy ra \(\int_0^1 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx} .\)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^1\) \( = \left. {\left( {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( \Leftrightarrow 1 + \frac{1}{2}C_n^1 + \frac{1}{3}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{1}{{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{{{2^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Bài 11: Chứng minh rằng: \(2C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3}}}{3}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Lời giải:
Xét khai triển: \({(1 + x)^n}\) \( = C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}.\)
Suy ra: \(\int_0^2 {{{(1 + x)}^n}} dx\) \( = \int_0^2 {\left( {C_n^0 + C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + C_n^n{x^n}} \right)dx} .\)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 + x)}^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right|_0^2\) \( = \left. {\left( {C_n^0x + C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)} \right|_0^2.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}\) \( = 2C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3}}}{3}C_n^2 + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n.\)
Vậy \(2C_n^0 + \frac{{{2^2}}}{2}C_n^1 + \frac{{{2^3}}}{3}C_n^2\) \( + \ldots + \frac{{{2^{n + 1}}}}{{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{{{3^{n + 1}} – 1}}{{n + 1}}.\)
Bài 12:
1) Tính tích phân: \(\int_0^1 x {(1 – x)^n}dx.\)
2) Chứng minh: \(\frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2\) \( + \ldots + {( – 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}.\)
Lời giải:
1) Đặt \(t = 1 – x\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 1 – t}\\
{dt = – dx}
\end{array}} \right..\)
Đổi cận: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = 0 \Rightarrow t = 1}\\
{x = 1 \Rightarrow t = 0}
\end{array}} \right..\)
Suy ra: \(I = \int_0^1 x {(1 – x)^n}dx\) \( = \int_1^0 {(1 – t)} {t^n}( – dt)\) \( = \int_0^1 {\left( {{t^n} – {t^{n + 1}}} \right)dt} \) \( = \left. {\left( {\frac{{{t^{n + 1}}}}{{n + 1}} – \frac{{{t^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( = \frac{1}{{n + 1}} – \frac{1}{{n + 2}}\) \( = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}\) \((1).\)
2) Mặt khác ta có: \({(1 – x)^n}\) \( = C_n^0 – C_n^1x + C_n^2{x^2}\) \( + \ldots + {( – 1)^n}C_n^n{x^n}.\)
\( \Leftrightarrow x{(1 – x)^n}\) \( = C_n^0x – C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3}\) \( + \ldots + {( – 1)^n}C_n^n{x^{n + 1}}.\)
\( \Rightarrow \int_0^1 x {(1 – x)^n}dx\) \( = \int_0^1 {\left( {C_n^0x – C_n^1{x^2} + C_n^2{x^3} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n{x^{n + 1}}} \right)dx.} \)
\( = \left. {\left( {C_n^0\frac{{{x^2}}}{2} – C_n^1\frac{{{x^3}}}{3} + C_n^2\frac{{{x^4}}}{4} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 2}}}}{{n + 2}}} \right)} \right|_0^1.\)
\( = \frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2\) \( + \ldots + {( – 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n\) \((2).\)
Từ \((1)\) và \((2)\) suy ra: \(\frac{1}{2}C_n^0 – \frac{1}{3}C_n^1 + \frac{1}{4}C_n^2\) \( + \ldots + {( – 1)^n}\frac{1}{{n + 2}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{(n + 1)(n + 2)}}.\)
Bài 13: Chứng minh rằng: \(2C_n^0 – \frac{1}{2}{.2^2}C_n^1 + \frac{1}{3}{.2^3}C_n^2\) \( – \ldots + {( – 1)^n}{2^{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{n + 1}}\left[ {1 + {{( – 1)}^n}} \right].\)
Lời giải:
Xét khai triển: \({(1 – x)^n}\) \( = C_n^0 – C_n^1x + C_n^2{x^2}\) \( + \ldots + {( – 1)^n}C_n^n{x^n}.\)
Suy ra: \(\int_0^2 {{{(1 – x)}^n}} dx\) \( = \int_0^2 {\left( {C_n^0 – C_n^1x + C_n^2{x^2} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n{x^n}} \right)dx.} \)
\(\left. { \Leftrightarrow \frac{{{{(1 – x)}^{n + 1}}}}{{ – (n + 1)}}} \right|_0^2\) \( = \left. {\left( {C_n^0x – C_n^1\frac{{{x^2}}}{2} + C_n^2\frac{{{x^3}}}{3} + \ldots + {{( – 1)}^n}C_n^n\frac{{{x^{n + 1}}}}{{n + 1}}} \right)} \right|_0^2.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{ – {{( – 1)}^{n + 1}} + {1^{n + 1}}}}{{n + 1}}\) \( = 2C_n^0 – \frac{1}{2}{.2^2}C_n^1 + \frac{1}{3}{.2^3}C_n^2\) \( – \ldots + {( – 1)^n}{2^{n + 1}}C_n^n.\)
\( \Leftrightarrow 2C_n^0 – \frac{1}{2}{.2^2}C_n^1 + \frac{1}{3}{.2^3}C_n^2\) \( – \ldots + {( – 1)^n}{2^{n + 1}}C_n^n\) \( = \frac{1}{{n + 1}}\left[ {1 + {{( – 1)}^n}} \right].\)
