Bài viết phân dạng và hướng dẫn phương pháp viết phương trình mặt phẳng trong không gian với hệ tọa độ \(Oxyz\).
Dạng toán 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) khi biết pháp tuyến \(\overrightarrow n \left( {A;B;C} \right)\) và toạ độ điểm \(M\left( {{x_0};{y_0};{z_0}} \right)\) thuộc mặt phẳng.
Phương pháp: Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(A\left( {x – {x_0}} \right) + B\left( {y – {y_0}} \right)\) \( + C\left( {z – {z_0}} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow Ax + By + Cz\) \( – A{x_0} – B{y_0} – C{z_0} = 0.\)
Ví dụ 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và có pháp tuyến là \(\overrightarrow n \left( {3;2;4} \right).\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(3\left( {x – 1} \right) + 2\left( {y – 2} \right)\) \( + 4\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 3x + 2y + 4z – 19 = 0.\)
Dạng toán 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(3\) điểm \(A,B,C\) cho trước không thẳng hàng.
Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là \({\overrightarrow n _\alpha } = \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\)
+ \(A \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
Ví dụ 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(3\) điểm \(A\left( {2; – 1;3} \right)\), \(B\left( {4;0;1} \right)\), \(C\left( { – 10;5;3} \right).\)
Ta có: \(\overrightarrow {AB} = \left( {2;1; – 2} \right)\), \(\overrightarrow {AC} = \left( { – 12;6;0} \right).\)
\(⇒ \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right]\) \( = \left( {12;24;24} \right)\) \( = 12\left( {1;2;2} \right)\), do đó chọn \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;2;2} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
Với \(A\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).\) Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right)\) \( + 2\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y + 2z – 6 = 0.\)
Dạng toán 3: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua một điểm và một số yếu tố khác.
• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với đường thẳng \(d.\)
Phương pháp: Vector chỉ phương của đường thẳng \(d\) (ký hiệu \(\overrightarrow {{a_d}} \)) cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) (ký hiệu \(\overrightarrow {{n_\alpha }} \)).
Ví dụ 3: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) trong các trường hợp sau:
a. \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {1;2;3} \right)\) và vuông góc với \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 2t\\
y = – 3 + t\\
z = 2 – t
\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số).
b. \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(N\left( {2; – 1;3} \right)\) và vuông góc với \(d\): \(\frac{{x + 1}}{{ – 2}} = \frac{{y + 2}}{3} = \frac{z}{1}.\)
c. \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(P\left( {0;1;2} \right)\) và vuông góc với trục \(Ox.\)
a. Vì \(\left( \alpha \right) ⊥ d\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;1; – 1} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
\(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(2\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 2} \right)\) \( – 1\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y – z – 1 = 0.\)
b. Vì \(\left( \alpha \right) ⊥ d\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( { – 2;3;1} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
\(N\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \( – 2\left( {x – 2} \right) + 3\left( {y + 1} \right)\) \( + 1\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow – 2x + 3y + z + 4 = 0.\)
c. Do \(\left( \alpha \right) ⊥ Ox\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left( {1;0;0} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
\(P\left( {0;1;2} \right) \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 1} \right)\) \( + 0\left( {z – 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)
• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và song song với mặt phẳng \((P).\)
Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\).
Ví dụ 4: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {2; – 1;3} \right)\) và song song với mặt phẳng \(\left( P \right):{\rm{ }}x + 2y – 3z + 1 = 0.\)
Vì \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( P \right)\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;2; – 3} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
\(M\left( {2; – 1;3} \right) \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 2} \right) + 2\left( {y + 1} \right)\) \( – 3\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2y – 3z + 9 = 0.\)
• Dạng 3: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) song song với đường thẳng \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \((P).\)
Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\), trong đó: \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), \(\overrightarrow {{n_P}} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\).
Ví dụ 5: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {2;3; – 1} \right)\), song song với đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 – 3t\\
y = 2t\\
z = 3 – t
\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\): \(x + y – z + 1 = 0.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( { – 3;2; – 1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {1;1; – 1} \right).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) \( = \left( { – 1; – 4; – 5} \right)\)
\(M\left( {2;3; – 1} \right) \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \( – 1\left( {x – 2} \right) – 4\left( {y – 3} \right)\) \( – 5\left( {z + 1} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 4y + 5z – 9 = 0.\)
• Dạng 4: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và vuông góc với hai mặt phẳng \((P)\) và \((Q).\)
Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{n_P}} \), \(\overrightarrow {{n_Q}} \) lần lượt là vetor pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\), \((Q)\).
Ví dụ 6: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\left( {3; – 1; – 5} \right)\) đồng thời vuông góc với hai mặt phẳng \(\left( P \right):3x – 2y + 2{\rm{ }}z + 7 = 0\), \(\left( Q \right):5x – 4y + 3z + 1 = 0.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {3; – 2;2} \right)\), \(\overrightarrow {{n_Q}} = \left( {5; – 4;3} \right).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)\\
\left( \alpha \right) \bot \left( Q \right)
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{n_p}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right]\) \( = \left( {2;1; – 2} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α).\)
\(M\left( {3; – 1; – 5} \right) \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(2\left( {x – 3} \right) + 1\left( {y + 1} \right)\) \( – 2\left( {z + 5} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y – 2z – 15 = 0.\)
• Dạng 5: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và song song với \(d\) và \(d’\).
Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} \) lần lượt là vector chỉ phương của \(d\), \(d’\).
Ví dụ 7: Trong không gian hệ toạ độ \(Oxyz\) cho hai đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = – 3t\\
z = 4 + t
\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số) và \(d’\): \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {1;2;3} \right)\) đồng thời song song với \(d\) và \(d’.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; – 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( {1;2; – 1} \right).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\
\left( \alpha \right){\rm{//}}d’
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\) \( = \left( {1;3;7} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α).\)
\(M\left( {1;2;3} \right) \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 2} \right)\) \( + 7\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y + 7z – 28 = 0.\)
• Dạng 6: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M\) và chứa \(d\) \(\left( {M \notin d} \right).\)
Phương pháp:
+ Lấy \(N \in d.\)
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {MN} } \right]\), với \(\overrightarrow {{a_d}}\) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
Ví dụ 8: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua điểm \(M(1;2;3)\) và chứa đường thẳng \(d\): \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.\)
Chọn \(N\left( {2; – 1;3} \right) \in d.\)
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {1;3;0} \right)\), \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 1} \right).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
M \in \left( \alpha \right)\\
d \subset \left( \alpha \right)
\end{array} \right.\) nên vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {MN} } \right]\) \( = \left( { – 3;1; – 1} \right).\)
Phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \( – 3\left( {x – 1} \right) + 1\left( {y – 2} \right)\) \( – 1\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow – 3x + y – z + 4 = 0.\)
Dạng toán 4: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm và các yếu tố khác.
• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M,N\) và song song với đường thẳng \(d.\)
Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{a_d}} } \right]\), với \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d.\)
Ví dụ 9: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M\left( {2;1;3} \right)\), \(N\left( {1, – 2,1} \right)\) và song song với đường thẳng \(d\): \(\left\{ \begin{array}{l}
x = – 1 + t\\
y = 2t\\
z = – 3 – 2t
\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { – 1; – 3; – 2} \right)\), \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 2} \right).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
M,N \in \left( \alpha \right)\\
d{\rm{//}}\left( \alpha \right)
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{a_d}} } \right]\) \( = \left( {10; – 4;1} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
\(M\left( {2;1;3} \right) \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(10\left( {x – 2} \right) – 4\left( {y – 1} \right)\) \( + 1\left( {z – 3} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 10x – 4y + z – 19 = 0.\)
• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua hai điểm \(M,N\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) (\(MN\) không vuông góc với \((P)\)).
Phương pháp: Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\), với \(\overrightarrow {{n_P}} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)
Ví dụ 10: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) đi qua \(M(0;1;2)\), \(N(2;0;1)\) và vuông góc với \((P)\): \(2x + 3y – z + 1 = 0 \).
Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( {2; – 1; – 1} \right)\); \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;3; – 1} \right).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
M,N \in \left( \alpha \right)\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {MN} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) \( = \left( {4;0;8} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α).\)
\(M\left( {0;1;2} \right) \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(4\left( {x – 0} \right) + 0\left( {y – 1} \right)\) \( + 8\left( {z – 2} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow 4x + 8z – 16 = 0\) \( \Leftrightarrow x + 2z – 4 = 0.\)
Dạng toán 5: Mặt phẳng chứa một đường thẳng và các yếu tố khác.
• Dạng 1: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(d\) và song song với \(d’.\)
Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} \) lần lượt là vector chỉ phương của đường thẳng \(d, d’.\)
+ Chọn \(M \in d \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).\)
Ví dụ 11: Trong không gian hệ toạ độ \(Oxyz\) cho hai đường thẳng: \(d:\) \(\left\{ \begin{array}{l}
x = 1 + 2t\\
y = – 3t\\
z = 4 + t
\end{array} \right.\) (\(t\) là tham số) và \(d’:\) \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z – 3}}{{ – 1}}.\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(d\) và song song với \(d’.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2; – 3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( {1;2; – 1} \right).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
d \subset \left( \alpha \right)\\
\left( \alpha \right){\rm{//}}d’
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\) \( = \left( {1;3;7} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
Chọn \(M\left( {1;0;4} \right) \in d\) \( \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(1\left( {x – 1} \right) + 3\left( {y – 0} \right)\) \( + 7\left( {z – 4} \right) = 0\) \( \Leftrightarrow x + 3y + 7z – 29 = 0.\)
• Dạng 2: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa đường thẳng \(d\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\) (\(d\) không vuông góc với \((P)\)).
Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), \(\overrightarrow {{n_P}} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)
+ Chọn \(M \in d \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).\)
Ví dụ 12: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) chứa \(d:\) \(\frac{{x + 1}}{2} = \frac{{y – 1}}{3} = \frac{{z + 1}}{1}\) và vuông góc với \((P):\) \(-x + y + 2z – 1 = 0.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {2;3;1} \right)\), \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( { – 1;1;2} \right).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
d \subset \left( \alpha \right)\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) \( = \left( {5; – 5;5} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α).\)
Chọn \(M\left( { – 1;1; – 1} \right) \in d\) \( \Rightarrow M \in \left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(5(x+1) – 5(y-1)\) \( + 5 (z+1) = 0\) \( \Leftrightarrow x – y + z + 3 = 0.\)
Dạng toán 6: Viết phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha \right)\) của đoạn thẳng \(MN.\)
Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {MN} .\)
+ \(\left( \alpha \right)\) đi qua trung điểm của \(MN.\)
Ví dụ 13: Viết phương trình mặt phẳng trung trực \(\left( \alpha \right)\) của đoạn thẳng \(MN\), biết \(M(1;3;2)\), \(N(-1;1;0).\)
Gọi \(I\) là trung điểm của \(MN\), khi đó \(I(0;2;1)\) và \(I \in \left( \alpha \right).\)
Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {MN} = \left( { – 2; – 2; – 2} \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\): \(-2 (x-0) – 2(y-2) \) \(-2(z-1) = 0\) \( \Leftrightarrow x + y + z – 3 = 0.\)
Dạng toán 7: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \((P)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R).\)
Phương pháp:
+ Từ \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( P \right)\), suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(Ax + By +Cz +D = 0\), trong đó hệ số \(D\) chưa biết.
+ Từ giả thiết \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\), từ đó tìm được hệ số \(D.\)
Ví dụ 14: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với mặt phẳng \((P):\) \(x – 2y + 2z +1 =0\) và tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) có phương trình: \({\left( {x + 2} \right)^2} + {\left( {y – 1} \right)^2}\) \( + {\left( {z – {\rm{ }}2} \right)^2} = 4.\)
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(-2;1;2)\), bán kính \(R = 2.\)
Vì \(\left( \alpha \right){\rm{//}}\left( P \right)\) nên phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(x – 2y +2z + D = 0.\)
\(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\) \(⇔ \frac{{\left| { – 2 – 2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{( – 2)}^2} + {2^2}} }} = 2\) \( ⇔ \left| D \right| = 6\) \( ⇔D = 6\) hoặc \(D = -6.\)
Vậy có hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán: \(x – 2y + 2z + 6 = 0 \) và \(x – 2y + 2z – 6 = 0.\)
Dạng toán 8: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) vuông góc với đường thẳng \(d\) và tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R).\)
Phương pháp:
+ Vector chỉ phương của đường thẳng \(d\) cũng là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\), suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó hệ số \(D\) chưa biết.
+ Từ giả thiết \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\), từ đó tìm được hệ số \(D.\)
Ví dụ 15: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S):\) \({x^2} + {\rm{ }}{y^2} + {\rm{ }}{z^2}\) \( – 2x + 2y + 4z – 3 = 0\) và vuông góc với đường thẳng \(d:\) \(\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y – 2}}{2} = \frac{z}{{ – 2}}.\)
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1 ;-1 ;-2)\), bán kính \(R = 3.\)
Vì \(\left( \alpha \right) \bot d\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;2; – 2} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((α).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(x + 2y – 2z +D = 0.\)
Vì \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \((S)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {1 – 2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {2^2} + {{( – 2)}^2}} }} = 3\) \( \Leftrightarrow D = 6\) hoặc \(D = -12.\)
Vậy có hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thỏa mãn điều kiện bài toán là: \(x + 2y – 2z + 6 = 0\) và \(x + 2y – 2z – 12 = 0.\)
Dạng toán 9: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với đường thẳng \(d\), vuông góc với mặt phẳng \((P)\) và tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R).\) (\(d\) không vuông góc với \((P)\)).
Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{a_d}} \) là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), \(\overrightarrow {{n_P}} \) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \((P).\)
+ Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó hệ số \(D\) chưa biết.
+ Từ giả thiết \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(I;R)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\), từ đó tìm được hệ số \(D.\)
Ví dụ 16: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với đường thẳng \(d:\) \(\frac{{x – 2}}{1} = \frac{{y + 1}}{3} = \frac{z}{{ – 1}}\), vuông góc với mặt phẳng \((P):\) \(2x +y + z – 1 = 0\) và tiếp xúc với mặt cầu \((S):\) \({\left( {x – 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2}\) \( + {\rm{ }}{z^2} = 9.\)
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(2; -1; 0)\), bán kính \(R = 3.\)
Ta có: \(\overrightarrow {{n_P}} = \left( {2;1;1} \right)\), \(\overrightarrow {{a_d}} = \left( {1;3; – 1} \right).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\
\left( \alpha \right) \bot \left( P \right)
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{n_P}} } \right]\) \( = ( – {\rm{ }}4;3;5)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
Do đó phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(-4x + 3y + 5z + D = 0.\)
Vì \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(I;R)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| { – 8 – 3 + D} \right|}}{{\sqrt {{{( – 4)}^2} + {3^2} + {5^2}} }} = 3\) \( \Leftrightarrow D = 11 + 15\sqrt 2 \) hoặc \(D = 11 – 15\sqrt 2 .\)
Vậy có hai mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán là: \( – {\rm{ }}4x + 3y + 5z + 11 + 15\sqrt 2 = 0\) và \( – {\rm{ }}4x + 3y + 5z + 11 – 15\sqrt 2 = 0.\)
Dạng toán 10: Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) song song với hai đường thẳng \(d\) và \(d’\) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu \(S(I ;R).\)
Phương pháp:
+ Vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là: \(\overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\), trong đó \(\overrightarrow {{a_d}} ,\overrightarrow {{a_{d’}}} \) lần lượt là vector chỉ phương của đường thẳng \(d\), \(d’.\)
+ Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng: \(Ax + By + Cz + D = 0\), trong đó hệ số \(D\) chưa biết.
+ Từ giả thiết mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) tiếp xúc với mặt cầu \(S(I;R)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\), từ đó tìm được hệ số \(D.\)
Ví dụ 17: Trong không gian với hệ toạ độ \(Oxyz\) cho mặt cầu \((S):\) \({x^2} + {y^2} + {z^2}\) \( – 2x + 2y + 4z – 3 = 0\) và hai đường thẳng \(d:\) \(\left\{ \begin{array}{l}
x + 2y – 2 = 0\\
x – 2z = 0
\end{array} \right.\) và \(d’:\) \(\frac{{x – 1}}{{ – 1}} = \frac{y}{1} = \frac{z}{{ – 1}}.\) Viết phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) là tiếp diện của \((S)\) đồng thời song song với \(d\) và \(d’.\)
Mặt cầu \((S)\) có tâm \(I(1;-1;-2)\), bán kính \(R = 3.\)
Đường thẳng \(d\) là giao của hai mặt phẳng \((P):\) \(x + 2y -2 =0\) và \((Q):\) \(x – 2z= 0\), suy ra vector chỉ phương của \(d\) là: \(\overrightarrow {{a_d}} = \left[ {\overrightarrow {{n_P}} .\overrightarrow {{n_Q}} } \right] = \left( { – 4;2; – 2} \right).\)
Vector chỉ phương của \(d’\) là \(\overrightarrow {{a_{d’}}} = \left( { – 1;1; – 1} \right).\)
Vì \(\left\{ \begin{array}{l}
\left( \alpha \right){\rm{//}}d\\
\left( \alpha \right){\rm{//}}d’
\end{array} \right.\) \( \Rightarrow \overrightarrow {{n_\alpha }} = \left[ {\overrightarrow {{a_d}} .\overrightarrow {{a_{d’}}} } \right]\) \( = \left( {0; – 2; – 2} \right)\) là vector pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( \alpha \right).\)
Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( \alpha \right)\) có dạng \(- 2y – 2z + D = 0.\)
Vì \(\left( \alpha \right)\) là tiếp diện của \((S)\) \( \Rightarrow d\left( {I,\left( \alpha \right)} \right) = R\) \( \Leftrightarrow \frac{{\left| {2 + 4 + D} \right|}}{{\sqrt 8 }} = 3\) \( \Leftrightarrow D = – 6 + 6\sqrt 2 \) hoặc \(D = – 6 – 6\sqrt 2 .\)
Vậy có hai tiếp diện thỏa mãn bài toán là: \(y + {\rm{ }}z + 3 – 3\sqrt 2 = 0\) và \(y + {\rm{ }}z + 3 + 3\sqrt 2 = 0.\)
