Bài viết hướng dẫn giải các bài tập trong phần câu hỏi và bài tập và phần luyện tập của sách giáo khoa Giải tích 12 nâng cao: Cực trị của hàm số.
CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
Bài 11. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} + 2{x^2} + 3x – 1.\)
b) \(f(x) = \frac{1}{3}{x^3} – {x^2} + 2x – 10.\)
c) \(f(x) = x + \frac{1}{x}.\)
d) \(f(x) = |x|(x + 2).\)
e) \(f(x) = \frac{{{x^5}}}{5} – \frac{{{x^3}}}{3} + 2.\)
f) \(f(x) = \frac{{{x^2} – 3x + 2}}{{x – 1}}.\)
a) Hàm số đã cho xác định trên \(R.\)
Ta có: \(f'(x) = {x^2} + 4x + 3.\)
Từ đó \(f'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow x = – 1\) hoặc \(x = – 3.\)
Cách 1. Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = -3\), giá trị cực đại của hàm số là \({f_{CĐ}} = f( – 3) = – 1\), hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = -1\), giá trị cực tiểu của hàm số là \({f_{CT}} = f( – 1) = – \frac{7}{3}.\)
Cách 2. \(f”(x) = 2x + 4\) \( \Rightarrow f”( – 3) = – 2 < 0\), \(f”( – 1) = 2 > 0.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = -3\), giá trị cực đại của hàm số là: \({f_{CĐ}} = f( – 3) = – 1\), hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = -1\), \({f_{CT}} = f( – 1) = – \frac{7}{3}.\)
b) Tập xác định: \(R.\)
\(f'(x) = {x^2} – 2x + 2\) \( = {(x – 1)^2} + 1 > 0\), \(\forall x \in R\) \( \Rightarrow f(x)\) luôn đồng biến nên hàm số không có cực trị.
c) Tập xác định: \(R\backslash 0\} .\)
\(f'(x) = 1 – \frac{1}{{{x^2}}}\) \( = \frac{{{x^2} – 1}}{{{x^2}}}\), \(f'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm 1.\)
Cách 1. Bảng biến thiên:
Vậy hàm số đạt cực đại tại \(x = – 1\), \({f_{CĐ}} = f( – 1) = – 2\), hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \({f_{CT}} = f(1) = 2.\)
Cách 2. \(f”(x) = \frac{{2x}}{{{x^4}}} = \frac{2}{{{x^3}}}.\)
Vì \(f”(x) = – 2 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại \(x = – 1\), \({f_{CĐ}} = f( – 1) = – 2.\) \(f”(1) = 2 > 0\) nên hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \({f_{CT}} = f(1) = 2.\)
d) \(f(x)\) xác định và liên tục trên \(R.\)
Ta có: \(f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x(x + 2)}&{{\rm{với}}\:x \ge 0}\\
{ – x(x + 2)}&{{\rm{với}}\:x < 0}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow f'(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 2}&{{\rm{với}}\:x > 0}\\
{ – 2x – 2}&{{\rm{với}}\:x < 0}
\end{array}} \right..\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = – 1\), \({f_{CĐ}} = f( – 1) = 1.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\), \({f_{CT}} = f(0) = 1.\)
e) Tập xác định: \(R.\)
\(f'(x) = {x^4} – {x^2}\), \(f'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = \pm 1.\)
Bảng biến thiên:
Vậy:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = – 1\), \({f_{CĐ}} = f( – 1) = \frac{{32}}{{15}}.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 1\), \({f_{CT}} = f(1) = \frac{{28}}{{15}}.\)
f) Tập xác định: \(R\backslash \{ 1\} .\)
Ta có: \(f'(x) = \frac{{(2x – 3)(x – 1) – \left( {{x^2} – 3x + 3} \right)}}{{{{(x – 1)}^2}}}\) \( = \frac{{{x^2} – 2x}}{{{{(x – 1)}^2}}}.\)
\(f'(x) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0\) hoặc \(x = 2.\)
Bảng biến thiên:
Vậy:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), \({f_{CĐ}} = f(0) = – 3.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 2\), \({f_{CT}} = f(2) = 1.\)
Bài 12. Tìm cực trị của các hàm số sau:
a) \(y = x\sqrt {4 – {x^2}} .\)
b) \(y = \sqrt {8 – {x^2}} .\)
c) \(y = x – \sin 2x + 2.\)
d) \(y = 3 – 2\cos x – \cos 2x.\)
a) Tập xác định: \([ – 2;2].\)
\(y’ = \sqrt {4 – {x^2}} + x\frac{{ – 2x}}{{2\sqrt {4 – {x^2}} }}\) \( = \frac{{4 – 2{x^2}}}{{\sqrt {4 – {x^2}} }}.\)
\(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 2 .\)
Bảng biến thiên:
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = – \sqrt 2 \), \({y_{CT}} = y( – \sqrt 2 ) = – 2.\)
Hàm số đạt cực đại tại \(x = \sqrt 2 \), \({y_{CĐ}} = y(\sqrt 2 ) = 2.\)
b) Tập xác định: \([ – 2\sqrt 2 ;2\sqrt 2 ].\)
\(y’ = \frac{{ – x}}{{\sqrt {8 – {x^2}} }}\), \(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0.\)
Bảng biến thiên:
Vậy:
Hàm số đạt cực đại tại \(x = 0\), \({y_{CĐ}} = y(0) = 2\sqrt 2 .\)
Hàm số không có cực tiểu.
c) Tập xác định: \(R.\)
\(y’ = (x – \sin 2x + 2)’\) \( = 1 – 2\cos 2x.\)
\(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow 1 – 2\cos 2x = 0\) \( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi \), \(k \in Z.\)
\(y” = 4\sin 2x.\)
Ta có: \(y”\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right)\) \( = 4\sin \left( {\frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\) \( = 2\sqrt 3 > 0.\)
\(y”\left( { – \frac{\pi }{6} + k\pi } \right)\) \( = 4\sin \left( { – \frac{\pi }{3} + k2\pi } \right)\) \( = – 2\sqrt 3 < 0.\)
Vậy hàm số đạt cực đại tại các điểm \(x = – \frac{\pi }{6} + k\pi \), \(k \in Z.\)
\({y_{CĐ}} = y\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right)\) \( = 2 + \frac{{\sqrt 3 }}{2} – \frac{\pi }{6} + k\pi \), \(k \in Z.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = \frac{\pi }{6} + k\pi \), \(k \in Z.\)
\({y_{CT}} = y\left( {\frac{\pi }{6} + k\pi } \right)\) \( = 2 – \frac{{\sqrt 3 }}{2} + \frac{\pi }{6} + k\pi \), \(k \in Z.\)
d) Tập xác định: \(R.\)
\(y’ = 2\sin x + 2\sin 2x\) \( = 2\sin x(1 + 2\cos x).\)
\(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{\sin x = 0}\\
{\cos x = – \frac{1}{2}}
\end{array}} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = k\pi }\\
{x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi }
\end{array}} \right.\) (\(k \in Z\)).
\(y” = 2\cos x + 4\cos 2x.\)
Ta có: \(y”(k\pi ) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2\:{\rm{nếu}}\:k\:{\rm{lẻ}}}\\
{6\:{\rm{nếu}}\:k\:{\rm{chẵn}}}
\end{array}} \right.\) \( \Rightarrow y”(k\pi ) > 0\) (có thể viết: \({y”(k\pi ) = 4 + 2\cos k\pi }\)).
Nên hàm số đạt cực tiểu tại các điểm \(x = k\pi \), \({y_{CT}} = y(kx)\) \( = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{0\:{\rm{nếu}}\:k\:{\rm{chẵn}}}\\
{4\:{\rm{nếu}}\:k\:{\rm{lẻ}}}
\end{array}} \right..\)
\(y”\left( { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = – 3 < 0\) nên hàm số đạt cực đại tại các điểm: \(x = \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi \), \(k \in Z\), \({y_{CĐ}} = y\left( { \pm \frac{{2\pi }}{3} + k2\pi } \right) = \frac{9}{2}.\)
Bài 13. Tìm các hệ số \(a\), \(b\), \(c\), \(d\) của hàm số \(f(x) = a{x^3} + b{x^2} + cx + d\) sao cho hàm số \(f\) đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0\), \(f(0) = 0\) và đạt cực đại tại điểm \(x = 1\), \(f(1) = 1.\)
Ta có \(f'(x) = 3a{x^2} + 2bx + c\) \( \Rightarrow f'(0) = c\), \(f'(1) = 3a + 2b + c.\)
Vì \(f(0) = 0\) \( \Rightarrow d = 0.\)
Hàm số đạt cực tiểu tại \(x = 0\) nên \(f'(0) = 0\) \( \Rightarrow c = 0\), \(f(1) = 1\) \( \Rightarrow a + b = 1.\)
Hàm số đạt cực đại tại điểm \(x = 1\) nên \(f'(1) = 0\) \( \Rightarrow 3a + 2b = 0.\)
Giải hệ: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a + b = 1}\\
{3a + 2b = 0}
\end{array}} \right.\) ta được \(a = – 2\), \(b = 3.\)
Vậy \(f(x) = – 2{x^3} + 3{x^2}.\)
Thử lại \(f'(x) = – 6{x^2} + 6x\), \(f”(x) = – 12x + 6.\)
\(f”(0) = 6 > 0.\) Hàm số đạt cực tiểu tại điểm \(x = 0.\)
\(f”(1) = – 6 < 0.\) Hàm số đạt cực đại tại \(x = 1.\)
Đáp số: \(a = -2\), \(b = 3\), \(c = 0\), \(d = 0.\)
Bài 14. Xác định các hệ số \(a\), \(b\), \(c\) sao cho hàm số \(f(x) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) đạt cực trị bằng \(0\) tại \(x = -2\) và đồ thị của hàm số đi qua \(A(1;0).\)
Cách 1. \(f'(x) = 3{x^2} + 2ax + b.\)
Điều kiện cần:
Hàm số đạt cực trị bằng \(0\) tại \(x = – 2\) \( \Rightarrow f'( – 2) = 0\) \(f( – 2) = 0.\)
Hay \( – 4a + b + 12 = 0\) \((1)\) và \(4a – 2b + c – 8 = 0\) \((2).\)
Đồ thị đi qua \(A(1;0)\) \( \Rightarrow a + b + c + 1 = 0.\)
Giải hệ gồm ba phương trình \((1)\), \((2)\), \((3)\) ta được \(a = 3\), \(b = 0\), \(c = -4.\)
Điều kiện đủ:
Xét \(f(x) = {x^3} + 3{x^2} – 4.\)
Ta có: đồ thị hàm số \(f(x)\) đi qua \(A(1;0).\)
\(f'(x) = 3{x^2} + 6x\) \( \Rightarrow f”(x) = 6x + 6.\)
\(f'( – 2) = 0\), \(f”( – 2) = – 6 < 0\) nên \(x = – 2\) là điểm cực đại và \(f( – 2) = 0.\)
Đáp số: \(a = 3\), \(b = 0\), \(c = -4.\)
Cách 2. Hướng dẫn:
Yêu cầu bài toán tương đương với: \(f( – 2) = 0\), \(f'( – 2) = 0\), \(f(1) = 0\), phương trình \(f'(x) = 0\) có hai nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm \(x = -2.\)
Bài 15. Chứng minh rằng với mọi giá trị của \(m\), hàm số \(y = \frac{{{x^2} – m(m + 1)x + {m^3} + 1}}{{x – m}}\) luôn có cực đại và cực tiểu.
Hàm số được viết lại là: \(y = x – {m^2} + \frac{1}{{x – m}}\), hàm số xác định với mọi \(x \ne m.\)
\(y’ = 1 – \frac{1}{{{{(x – m)}^2}}}\) với \(x \ne m\), \(y’ = 0\) \( \Leftrightarrow {(x – m)^2} = 1\) \( \Leftrightarrow x = m – 1\) hoặc \(x = m + 1.\)
Bảng biến thiên:
Vậy với mọi giá trị của \(m\), hàm số đạt cực đại tại \(x = m -1\) và đạt cực tiểu tại \(x = m + 1.\)
