Bài viết trình bày tóm tắt lý thuyết và hướng dẫn giải một số dạng toán điển hình trong chủ đề giá trị lượng giác của một góc bất kì từ 0º đến 180º.
A. TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1. Định nghĩa
Trong mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\) Với mỗi góc \(\alpha \) \(\left( {{0^0} \le \alpha \le {{180}^0}} \right)\), ta xác định điểm \(M\) trên nửa đường tròn đơn vị tâm \(O\) sao cho \(\alpha = \widehat {xOM}.\)
Giả sử điểm \(M\) có tọa độ \((x;y).\)
Khi đó:
\(\sin \alpha = y\), \(\cos \alpha = x\), \(\tan \alpha = \frac{y}{x}\) \(\left( {\alpha \ne {{90}^0}} \right)\), \(\cot \alpha = \frac{x}{y}\) \(\left( {\alpha \ne {0^0},\alpha \ne {{180}^0}} \right).\)
Các số \(\sin \alpha \), \(\cos \alpha \), \(\tan \alpha \), \(\cot \beta \) được gọi là giá trị lượng giác của góc \(\alpha .\)
Chú ý: Từ định nghĩa ta có:
+ Gọi \(P\), \(Q\) lần lượt là hình chiếu của \(M\) lên trục \(Ox\), \(Oy\) khi đó \(M(\overline {OP} ;\overline {OQ} ).\)
+ Với \({0^0} \le \alpha \le {180^0}\) ta có \(0 \le \sin \alpha \le 1\), \( – 1 \le \cos \alpha \le 1.\)
+ Dấu của giá trị lượng giác:
2. Tính chất
Góc phụ nhau:
\(\sin \left( {{{90}^0} – \alpha } \right) = \cos \alpha .\)
\(\cos \left( {{{90}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha .\)
\(\tan \left( {{{90}^0} – \alpha } \right) = \cot \alpha .\)
\(\cot \left( {{{90}^0} – \alpha } \right) = \tan \alpha .\)
Góc bù nhau:
\(\sin \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = \sin \alpha .\)
\(\cos \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \cos \alpha .\)
\(\tan \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \tan \alpha .\)
\(\cot \left( {{{180}^0} – \alpha } \right) = – \cot \alpha .\)
3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt
4. Các hệ thức lượng giác cơ bản
1) \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) \(\left( {\alpha \ne {{90}^0}} \right).\)
2) \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) \(\left( {\alpha \ne {0^0};{{180}^0}} \right).\)
3) \(\tan \alpha .\cot \alpha = 1\) \(\left( {\alpha \ne {0^0};{{90}^0};{{180}^0}} \right).\)
4) \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)
5) \(1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) \(\left( {\alpha \ne {{90}^0}} \right).\)
6) \(1 + {\cot ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) \(\left( {\alpha \ne {0^0};{{180}^0}} \right).\)
Chứng minh:
Hệ thức 1, 2 và 3 dễ dàng suy ra từ định nghĩa.
Ta có \(\sin \alpha = \overline {OQ} \), \(\cos \alpha = \overline {OP} .\)
Suy ra \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \) \( = {\overline {OQ} ^2} + {\overline {OP} ^2}\) \( = O{Q^2} + O{P^2}.\)
+ Nếu \(\alpha = {0^0}\), \(\alpha = {90^0}\) hoặc \(\alpha = {180^0}\) thì dễ dàng thấy \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)
+ Nếu \(\alpha \ne {0^0}\), \(\alpha \ne {90^0}\) và \(\alpha \ne {180^0}\) khi đó theo định lý Pitago ta có:
\({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \) \( = O{Q^2} + O{P^2}\) \( = O{Q^2} + Q{M^2}\) \( = O{M^2} = 1.\)
Vậy ta có \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1.\)
Mặt khác \(1 + {\tan ^2}\alpha \) \( = 1 + \frac{{{{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) \( = \frac{{{{\cos }^2}\alpha + {{\sin }^2}\alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) \( = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\) suy ra được hệ thức 5.
Tương tự \(1 + {\cot ^2}\alpha \) \( = 1 + \frac{{{{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) \( = \frac{{{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) \( = \frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }}\) suy ra được hệ thức 6.
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG TOÁN 1: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC ĐẶC BIỆT.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc.
+ Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt.
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = {a^2}\sin {90^0} + {b^2}\cos {90^0} + {c^2}\cos {180^0}.\)
b) \(B = 3 – {\sin ^2}{90^0} + 2{\cos ^2}{60^0} – 3{\tan ^2}{45^0}.\)
c) \(C = {\sin ^2}{45^0} – 2{\sin ^2}{50^0}\) \( + 3{\cos ^2}{45^0} – 2{\sin ^2}{40^0}\) \( + 4\tan {55^0}.\tan {35^0}.\)
a) \(A = {a^2}.1 + {b^2}.0 + {c^2}.( – 1)\) \( = {a^2} – {c^2}.\)
b) \(B = 3 – {(1)^2} + 2{\left( {\frac{1}{2}} \right)^2}\) \( – 3{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} = 1.\)
c) \(C = {\sin ^2}{45^0} + 3{\cos ^2}{45^0}\) \( – 2\left( {{{\sin }^2}{{50}^0} + {{\sin }^2}{{40}^0}} \right)\) \( + 4\tan {55^0}.\cot {55^0}.\)
\(C = {\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + 3{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\) \( – 2\left( {{{\sin }^2}{{50}^0} + {{\cos }^2}{{40}^0}} \right) + 4\) \( = \frac{1}{2} + \frac{3}{2} – 2 + 4 = 4.\)
Ví dụ 2: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = {\sin ^2}{3^0} + {\sin ^2}{15^0}\) \( + {\sin ^2}{75^0} + {\sin ^2}{87^0}.\)
b) \(B = \cos {0^0} + \cos {20^0} + \cos {40^0}\) \( + \ldots + \cos {160^0} + \cos {180^0}.\)
c) \(C = \tan {5^0}\tan {10^0}\tan {15^0} \ldots \tan {80^0}\tan {85^0}.\)
a) \(A = \left( {{{\sin }^2}{3^0} + {{\sin }^2}{{87}^0}} \right)\) \( + \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\sin }^2}{{75}^0}} \right).\)
\( = \left( {{{\sin }^2}{3^0} + {{\cos }^2}{3^0}} \right)\) \( + \left( {{{\sin }^2}{{15}^0} + {{\cos }^2}{{15}^0}} \right).\)
\( = 1 + 1 = 2.\)
b) \(B = \left( {\cos {0^0} + \cos {{180}^0}} \right)\) \( + \left( {\cos {{20}^0} + \cos {{160}^0}} \right)\) \( + \ldots + \left( {\cos {{80}^0} + \cos {{100}^0}} \right).\)
\( = \left( {\cos {0^0} – \cos {0^0}} \right)\) \( + \left( {\cos {{20}^0} – \cos {{20}^0}} \right)\) \( + \ldots + \left( {\cos {{80}^0} – \cos {{80}^0}} \right).\)
\( = 0.\)
c) \(C = \left( {\tan {5^0}\tan {{85}^0}} \right)\)\(\left( {\tan {{15}^0}\tan {{75}^0}} \right)\)\( \cdots \left( {\tan {{45}^0}\tan {{45}^0}} \right).\)
\( = \left( {\tan {5^0}\cot {5^0}} \right)\)\(\left( {\tan {{15}^0}\cot {{15}^0}} \right)\)\( \ldots \left( {\tan {{45}^0}\cot {{45}^0}} \right).\)
\( = 1.\)
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính giá trị các biểu thức sau:
a) \(A = \sin {45^0} + 2\cos {60^0}\) \( – \tan {30^0} + 5\cot {120^0}\) \( + 4\sin {135^0}.\)
b) \(B = 4{a^2}{\sin ^2}{45^0}\) \( – 3{\left( {a\tan {{45}^0}} \right)^2} + {\left( {2a\cos {{45}^0}} \right)^2}.\)
c) \(C = {\sin ^2}{35^0} – 5{\sin ^2}{73^0}\) \( + {\cos ^2}{35^0} – 5{\cos ^2}{73^0}.\)
d) \(D = \frac{{12}}{{1 + {{\tan }^2}{{76}^0}}}\) \( – 5\tan {85^0}\cot {95^0} + 12{\sin ^2}{104^0}.\)
e) \(E = {\sin ^2}{1^0} + {\sin ^2}{2^0}\) \( + \ldots + {\sin ^2}{89^0} + {\sin ^2}{90^0}.\)
f) \(F = {\cos ^3}{1^0} + {\cos ^3}{2^0} + {\cos ^3}{3^0}\) \( + \ldots + {\cos ^3}{179^0} + {\cos ^3}{180^0}.\)
a) \(A = \frac{{\sqrt 2 }}{2} + 2.\frac{1}{2} – \frac{{\sqrt 3 }}{3}\) \( – 5.\frac{{\sqrt 3 }}{3} + 4.\frac{{\sqrt 2 }}{2}\) \( = 1 + \frac{{5\sqrt 2 }}{2} – 2\sqrt 3 .\)
b) \(B = 4{a^2}.{\left( {\frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2}\) \( – 3{a^2} + {(\sqrt 2 a)^2} = {a^2}.\)
c) \(C = \left( {{{\sin }^2}{{35}^0} + {{\cos }^2}{{35}^0}} \right)\) \( – 5\left( {{{\sin }^2}{{75}^0} + {{\cos }^2}{{75}^0}} \right)\) \( = 1 – 5 = – 4.\)
d) \(D = 12{\cos ^2}{76^0}\) \( + 5\tan {85^0}.\cot {85^0}\) \( + 12{\sin ^2}{76^0}\) \( = 12 + 5 = 17.\)
e) \(E = \left( {{{\sin }^2}{1^0} + {{\sin }^2}{{89}^0}} \right)\) \( + \left( {{{\sin }^2}{2^0} + {{\sin }^2}{{88}^0}} \right)\) \( + \ldots + \left( {{{\sin }^2}{{44}^0} + {{\sin }^2}{{46}^0}} \right)\) \( + {\sin ^2}{45^0} + {\sin ^2}{90^0}.\)
\(E = \left( {{{\sin }^2}{1^0} + {{\cos }^2}{1^0}} \right)\) \( + \left( {{{\sin }^2}{2^0} + {{\cos }^2}{2^0}} \right)\) \( + \ldots + \left( {{{\sin }^2}{{44}^0} + {{\cos }^2}{{44}^0}} \right)\) \( + \frac{1}{2} + 1.\)
\(E = \underbrace {1 + 1 + \ldots + 1}_{44\:{\rm{số}}} + \frac{1}{2} + 1 = \frac{{91}}{2}.\)
f) \(F = \left( {{{\cos }^3}{1^0} + {{\cos }^3}{{179}^0}} \right)\) \( + \ldots + \left( {{{\cos }^3}{{89}^0} + {{\cos }^3}{{91}^0}} \right)\) \( + {\cos ^3}{90^0} + {\cos ^3}{180^0}.\)
\(F = {\cos ^3}{90^0} + {\cos ^3}{180^0}\) \( = 0 – 1 = – 1.\)
Bài 2: Tính giá trị của biểu thức sau: \(P = \) \(4\tan \left( {x + {4^0}} \right).\sin x.\cot \left( {4x + {{26}^0}} \right)\) \( + \frac{{8{{\tan }^2}\left( {{3^0} – x} \right)}}{{1 + {{\tan }^2}\left( {5x + {3^0}} \right)}}\) \( + 8{\cos ^2}\left( {x – {3^0}} \right)\) khi \(x = {30^0}.\)
Thay vào ta có: \(P = \) \(4\tan {34^0}.\sin {30^0}.\cot {146^0}\) \( + \frac{{8{{\tan }^2}\left( { – {{27}^0}} \right)}}{{1 + {{\tan }^2}{{153}^0}}}\) \( + 8{\cos ^2}{27^0}.\)
\(P = – 4.\tan {34^0}.\frac{1}{2}.\cot {34^0}\) \( + 8{\tan ^2}{27^0}.{\cos ^2}{27^0}\) \( + 8{\cos ^2}{27^0}\) \( = – 2 + 8 = 6.\)
DẠNG TOÁN 2: CHỨNG MINH ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC – CHỨNG MINH BIỂU THỨC KHÔNG PHỤ THUỘC \(X\) – ĐƠN GIẢN BIỂU THỨC.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa).
a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) \( = 1 – 2{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.\)
b) \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}} = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}.\)
c) \(\frac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\) \( = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1.\)
a) \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) \( = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) \( + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\) \( – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.\)
\( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2}\) \( – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.\)
\( = 1 – 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x.\)
b) \(\frac{{1 + \cot x}}{{1 – \cot x}}\) \( = \frac{{1 + \frac{1}{{\tan x}}}}{{1 – \frac{1}{{\tan x}}}}\) \( = \frac{{\frac{{\tan x + 1}}{{\tan x}}}}{{\frac{{\tan x – 1}}{{\tan x}}}}\) \( = \frac{{\tan x + 1}}{{\tan x – 1}}.\)
c) \(\frac{{\cos x + \sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\) \( = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{{\sin x}}{{{{\cos }^3}x}}\) \( = {\tan ^2}x + 1 + \tan x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right).\)
\( = {\tan ^3}x + {\tan ^2}x + \tan x + 1.\)
Ví dụ 2: Cho tam giác \(ABC.\) Chứng minh rằng:
\(\frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}\) \( + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left( {\frac{{A + C}}{2}} \right)}}\) \( – \frac{{\cos (A + C)}}{{\sin B}}.\tan B = 2.\)
Vì \(A + B + C = {180^0}\) nên:
\(VT = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}}\) \( + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \left( {\frac{{{{180}^0} – B}}{2}} \right)}}\) \( – \frac{{\cos \left( {{{180}^0} – B} \right)}}{{\sin B}}.\tan B.\)
\( = \frac{{{{\sin }^3}\frac{B}{2}}}{{\sin \frac{B}{2}}} + \frac{{{{\cos }^3}\frac{B}{2}}}{{\cos \frac{B}{2}}}\) \( – \frac{{ – \cos B}}{{\sin B}}.\tan B\) \( = {\sin ^2}\frac{B}{2} + {\cos ^2}\frac{B}{2} + 1\) \( = 2 = VP.\)
Suy ra điều phải chứng minh.
Ví dụ 3: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) \(A = \sin \left( {{{90}^0} – x} \right)\) \( + \cos \left( {{{180}^0} – x} \right)\) \( + {\sin ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right)\) \( – {\tan ^2}x.\)
b) \(B = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{1}{{1 + \cos x}} + \frac{1}{{1 – \cos x}}} – \sqrt 2 .\)
a) \(A = \cos x – \cos x\) \( + {\sin ^2}x.\frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) \( – {\tan ^2}x = 0.\)
b) \(B = \frac{1}{{\sin x}} \cdot \sqrt {\frac{{1 – \cos x + 1 + \cos x}}{{(1 – \cos x)(1 + \cos x)}}} – \sqrt 2 .\)
\( = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{2}{{1 – {{\cos }^2}x}}} – \sqrt 2 \) \( = \frac{1}{{\sin x}}.\sqrt {\frac{2}{{{{\sin }^2}x}}} – \sqrt 2 .\)
\( = \sqrt 2 \left( {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1} \right)\) \( = \sqrt 2 {\cot ^2}x.\)
Ví dụ 4: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào \(x.\)
\(P = \sqrt {{{\sin }^4}x + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} \) \( + \sqrt {{{\cos }^4}x + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .\)
\(P = \sqrt {{{\left( {1 – {{\cos }^2}x} \right)}^2} + 6{{\cos }^2}x + 3{{\cos }^4}x} \) \( + \sqrt {{{\left( {1 – {{\sin }^2}x} \right)}^2} + 6{{\sin }^2}x + 3{{\sin }^4}x} .\)
\( = \sqrt {4{{\cos }^4}x + 4{{\cos }^2}x + 1} \) \( + \sqrt {4{{\sin }^4}x + 4{{\sin }^2}x + 1} .\)
\( = 2{\cos ^2}x + 1 + 2{\sin ^2}x + 1.\)
\( = 3.\)
Vậy \(P\) không phụ thuộc vào \(x.\)
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Chứng minh các đẳng thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) \({\tan ^2}x – {\sin ^2}x = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x.\)
b) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x = 1 – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.\)
c) \(\frac{{{{\tan }^3}x}}{{{{\sin }^2}x}} – \frac{1}{{\sin x\cos x}} + \frac{{{{\cot }^3}x}}{{{{\cos }^2}x}}\) \( = {\tan ^3}x + {\cot ^3}x.\)
d) \({\sin ^2}x – {\tan ^2}x\) \( = {\tan ^6}x\left( {{{\cos }^2}x – {{\cot }^2}x} \right).\)
e) \(\frac{{{{\tan }^2}a – {{\tan }^2}b}}{{{{\tan }^2}a.{{\tan }^2}b}}\) \( = \frac{{{{\sin }^2}a – {{\sin }^2}b}}{{{{\sin }^2}a.{{\sin }^2}b}}.\)
a) \(VT = \frac{{{{\sin }^2}x}}{{{{\cos }^2}x}} – {\sin ^2}x\) \( = {\sin ^2}x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) – {\sin ^2}x\) \( = VP.\)
b) \({\sin ^6}x + {\cos ^6}x\) \( = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^3}\) \( – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\) \( = 1 – 3{\sin ^2}x.{\cos ^2}x.\)
c) \(VT = {\tan ^3}x\left( {{{\cot }^2}x + 1} \right)\) \( – \tan x\left( {{{\cot }^2}x + 1} \right)\) \( + {\cot ^3}x\left( {{{\tan }^2}x + 1} \right)\) \( = \tan x + {\tan ^3}x – \cot x\) \( – \tan x + \cot x + {\cot ^3}x = VP.\)
d) \(VP = {\tan ^6}x{\cos ^2}x – {\tan ^6}x{\cot ^2}x\) \( = {\tan ^4}x{\sin ^2}x – {\tan ^4}x\) \( = {\tan ^4}x.{\cos ^2}x\) \( = {\tan ^2}x.{\sin ^2}x\) \( = {\tan ^2}x – {\sin ^2}x = VT\) (do câu a).
e) \(VT = \frac{1}{{{{\tan }^2}b}} – \frac{1}{{{{\tan }^2}a}}\) \( = {\cot ^2}b – {\cot ^2}a\) \( = \frac{1}{{{{\sin }^2}b}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}a}} = VP.\)
Bài 2: Đơn giản các biểu thức sau (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) \(A = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}}\) \( – {\tan ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right)\) \( – {\cos ^2}\left( {{{180}^0} – x} \right).\)
b) \(B = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{{{\cot }^2}x – {{\tan }^2}x}} – {\cos ^2}x.\)
c) \(C = \frac{{{{\sin }^3}a + {{\cos }^3}a}}{{{{\cos }^2}a + \sin a(\sin a – \cos a)}}.\)
d) \(D = \sqrt {\frac{{1 + \sin a}}{{1 – \sin a}}} + \sqrt {\frac{{1 – \sin a}}{{1 + \sin a}}} .\)
a) \(A = {\tan ^2}x + 1\) \( – {\tan ^2}x – {\cos ^2}x\) \( = {\sin ^2}x.\)
b) \(B = \frac{{{{\cos }^2}x – {{\sin }^2}x}}{{\frac{1}{{{{\sin }^2}x}} – 1 – \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + 1}}\) \( – {\cos ^2}x\) \( = {\cos ^2}x{\sin ^2}x – {\cos ^2}x\) \( = – {\cos ^4}x.\)
c) \(C = \) \(\frac{{(\sin a + \cos a)\left( {{{\sin }^2}a – \sin a\cos a + {{\cos }^2}a} \right)}}{{{{\sin }^2}a – \sin a\cos a + {{\cos }^2}a}}\) \( = \sin a + \cos a.\)
d) \({D^2} = \) \(\frac{{1 + \sin a}}{{1 – \sin a}} + \frac{{1 – \sin a}}{{1 + \sin a}} + 2\) \( = \frac{{{{(1 + \sin a)}^2} + {{(1 – \sin a)}^2}}}{{1 – {{\sin }^2}a}} + 2\) \( = \frac{{2 + 2{{\sin }^2}a}}{{{{\cos }^2}a}} + 2\) \( = \frac{4}{{{{\cos }^2}a}}.\)
Suy ra \(D = \frac{2}{{|\cos a|}}.\)
Bài 3: Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào \(\alpha \) (giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa):
a) \(2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right)\) \( – 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right).\)
b) \({\cot ^2}{30^0}\left( {{{\sin }^8}\alpha – {{\cos }^8}\alpha } \right)\) \( + 4\cos {60^0}\left( {{{\cos }^6}\alpha – {{\sin }^6}\alpha } \right)\) \( – {\sin ^6}\left( {{{90}^0} – \alpha } \right){\left( {{{\tan }^2}\alpha – 1} \right)^3}.\)
c) \(\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right)\)\(\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x + 2} \right).\)
d) \(\frac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}.\)
a) \(2\left( {{{\sin }^6}\alpha + {{\cos }^6}\alpha } \right)\) \( – 3\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right).\)
\( = 2\left( {1 – 3{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right)\) \( – 3\left( {1 – 2{{\sin }^2}x.{{\cos }^2}x} \right) = – 1.\)
b) \({\cot ^2}{30^0}\left( {{{\sin }^8}\alpha – {{\cos }^8}\alpha } \right)\) \( + 4\cos {60^0}\left( {{{\cos }^6}\alpha – {{\sin }^6}\alpha } \right)\) \( – {\sin ^6}\left( {{{90}^0} – \alpha } \right){\left( {{{\tan }^2}\alpha – 1} \right)^3}.\)
\( = 3\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)\) \( – 2\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)\)\(\left( {{{\sin }^4}\alpha + {{\sin }^2}\alpha {{\cos }^2}\alpha + {{\cos }^4}\alpha } \right)\) \( – {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3}.\)
\( = {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3}\) \( – {\left( {{{\sin }^2}\alpha – {{\cos }^2}\alpha } \right)^3} = 0.\)
c) \(\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x – 1} \right)\)\(\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x + 2} \right)\) \( = – 2.\)
d) \(\frac{{{{\sin }^4}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}{{{{\sin }^6}x + {{\cos }^6}x + 3{{\cos }^4}x – 1}}\) \( = \frac{2}{3}.\)
DẠNG TOÁN 3: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC CÓ ĐIỀU KIỆN.
1. PHƯƠNG PHÁP GIẢI
+ Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản.
+ Dựa vào dấu của giá trị lượng giác.
+ Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ.
2. CÁC VÍ DỤ
Ví dụ 1:
a) Cho \(\sin \alpha = \frac{1}{3}\) với \({90^0} < \alpha < {180^0}.\) Tính \(\cos \alpha \) và \(\tan \alpha .\)
b) Cho \(\cos \alpha = – \frac{2}{3}.\) Tính \(\sin \alpha \) và \(\cot \alpha .\)
c) Cho \(\tan \alpha = – 2\sqrt 2 \), tính giá trị lượng giác còn lại.
a) Vì \({90^0} < \alpha < {180^0}\) nên \(\cos \alpha < 0\) mặt khác \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) suy ra:
\(\cos \alpha = – \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } \) \( = – \sqrt {1 – \frac{1}{9}} \) \( = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
Do đó: \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) \( = \frac{{\frac{1}{3}}}{{ – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}}}\) \( = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.\)
b) Vì \({\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\) nên \(\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } \) \( = \sqrt {1 – \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\) và \(\cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) \( = \frac{{ – \frac{2}{3}}}{{\frac{{\sqrt 5 }}{3}}} = – \frac{2}{{\sqrt 5 }}.\)
c) Vì \(\tan \alpha = – 2\sqrt 2 < 0\) \( \Rightarrow \cos \alpha < 0\) mặt khác \({\tan ^2}\alpha + 1 = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}.\)
Nên \(\cos \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\tan }^2} + 1}}} \) \( = – \sqrt {\frac{1}{{8 + 1}}} = – \frac{1}{3}.\)
Ta có \(\tan \alpha = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\) \( \Rightarrow \sin \alpha = \tan \alpha .\cos \alpha \) \( = – 2\sqrt 2 .\left( { – \frac{1}{3}} \right) = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}.\)
\( \Rightarrow \cot \alpha = \frac{{\cos \alpha }}{{\sin \alpha }}\) \( = \frac{{ – \frac{1}{3}}}{{\frac{{2\sqrt 2 }}{3}}} = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}.\)
Ví dụ 2:
a) Cho \(\cos \alpha = \frac{3}{4}\) với \({0^0} < \alpha < {90^0}\). Tính \(A = \frac{{\tan \alpha + 3\cot \alpha }}{{\tan \alpha + \cot \alpha }}.\)
b) Cho \(\tan \alpha = \sqrt 2 .\) Tính \(B = \frac{{\sin \alpha – \cos \alpha }}{{{{\sin }^3}\alpha + 3{{\cos }^3}\alpha + 2\sin \alpha }}.\)
a) Ta có \(A = \frac{{\tan \alpha + 3\frac{1}{{\tan \alpha }}}}{{\tan \alpha + \frac{1}{{\tan \alpha }}}}\) \( = \frac{{{{\tan }^2}\alpha + 3}}{{{{\tan }^2}\alpha + 1}}\) \( = \frac{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }} + 2}}{{\frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}}}\) \( = 1 + 2{\cos ^2}\alpha .\)
Suy ra \(A = 1 + 2.\frac{9}{{16}} = \frac{{17}}{8}.\)
b) \(B = \frac{{\frac{{\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} – \frac{{\cos \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}{{\frac{{{{\sin }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{3{{\cos }^3}\alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }} + \frac{{2\sin \alpha }}{{{{\cos }^3}\alpha }}}}\) \( = \frac{{\tan \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right) – \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}{{{{\tan }^3}\alpha + 3 + 2\tan \alpha \left( {{{\tan }^2}\alpha + 1} \right)}}.\)
Suy ra \(B = \frac{{\sqrt 2 (2 + 1) – (2 + 1)}}{{2\sqrt 2 + 3 + 2\sqrt 2 (2 + 1)}}\) \( = \frac{{3(\sqrt 2 – 1)}}{{3 + 8\sqrt 2 }}.\)
Ví dụ 3: Biết \(\sin x + \cos x = m.\)
a) Tìm \(\sin x\cos x\) và \(\left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.\)
b) Chứng minh rằng \(|m| \le \sqrt 2 .\)
a) Ta có \({(\sin x + \cos x)^2}\) \( = {\sin ^2}x + 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x\) \( = 1 + 2\sin x\cos x\) \((*).\)
Mặt khác \(\sin x + \cos x = m\) nên \({m^2} = 1 + 2\sin x\cos x.\)
Hay \(\sin x\cos x = \frac{{{m^2} – 1}}{2}.\)
Đặt \(\dot A = \left| {{{\sin }^4}x – {{\cos }^4}x} \right|.\) Ta có:
\(A = \left| {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)\left( {{{\sin }^2}x – {{\cos }^2}x} \right)} \right|\) \( = |(\sin x + \cos x)(\sin x – \cos x)|.\)
\( \Rightarrow {A^2} = {(\sin x + \cos x)^2}{(\sin x – \cos x)^2}\) \( = (1 + 2\sin x\cos x)(1 – 2\sin x\cos x).\)
\( \Rightarrow {A^2} = \left( {1 + {m^2} – 1} \right)\left( {1 – {m^2} + 1} \right)\) \( = 2{m^2} – {m^4}.\)
Vậy \(A = \sqrt {2{m^2} – {m^4}} .\)
b) Ta có: \(2\sin x\cos x\) \( \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1\) kết hợp với \((*)\) suy ra:
\({(\sin x + \cos x)^2} \le 2\) \( \Rightarrow |\sin x + \cos x| \le \sqrt 2 .\)
Vậy \(|m| \le \sqrt 2 .\)
3. BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Bài 1: Tính các giá trị lượng giác còn lại, biết:
a) \(\sin \alpha = \frac{3}{5}\) với \({0^0} < \alpha < {90^0}.\)
b) \(\cos \alpha = \sqrt {\frac{1}{5}} .\)
c) \(\cot \alpha = – \sqrt 2 .\)
d) \(\tan \alpha + \cot \alpha < 0\) và \(\sin \alpha = \frac{1}{5}.\)
a) \(\cos \alpha = \sqrt {1 – {{\sin }^2}\alpha } = \frac{4}{5}\), \(\tan \alpha = \frac{3}{4}\), \(\cot \alpha = \frac{4}{3}.\)
b) \(\sin \alpha = \sqrt {1 – {{\cos }^2}\alpha } = \frac{2}{{\sqrt 5 }}\), \(\tan \alpha = 2\), \(\cot \alpha = \frac{1}{2}.\)
c) \(\sin \alpha = \frac{1}{{\sqrt 3 }}\), \(\cos \alpha = – \frac{{\sqrt 6 }}{3}\), \(\tan \alpha = – \frac{1}{{\sqrt 2 }}.\)
d) Ta có \(\tan \alpha \cot \alpha = 1 /> 0\) mà \(\tan \alpha + \cot \alpha < 0\) suy ra \(\tan \alpha < 0\), \(\cot \alpha < 0.\)
\(\cot \alpha = – \sqrt {\frac{1}{{{{\sin }^2}\alpha }} – 1} \) \( = – 2\sqrt 6 \) \( \Rightarrow \tan \alpha = – \frac{1}{{2\sqrt 6 }}\), \(\cos \alpha = \cot \alpha .\sin \alpha \) \( = – \frac{{2\sqrt 6 }}{5}.\)
Bài 2:
a) Cho \(\sin a = \frac{1}{3}\) với \({90^0} < a < {180^0}.\) Tính \(B = \frac{{3\cot a + 2\tan a + 1}}{{\cot a + \tan a}}.\)
b) Cho \(\cot a = 5.\) Tính \(D = 2{\cos ^2}a + 5\sin a\cos a + 1.\)
a) Từ giả thiết suy ra:
\(\cos a = – \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\), \(\tan a = – \frac{1}{{2\sqrt 2 }}\), \(\cot a = – 2\sqrt 2 \) \( \Rightarrow B = \frac{{26 – 2\sqrt 2 }}{9}.\)
b) \(\frac{D}{{{{\sin }^2}a}}\) \( = 2{\cot ^2}a + 5\cot a + \frac{1}{{{{\sin }^2}a}}\) \( \Rightarrow \left( {{{\cot }^2}a + 1} \right)D\) \( = 3{\cot ^2}a + 5\cot a + 1.\)
Suy ra \(D = \frac{{101}}{{26}}.\)
Bài 3: Biết \(\tan x + \cot x = m.\)
a) Tìm \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x.\)
b) \(\frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}.\)
a) \({\tan ^2}x + {\cot ^2}x = {m^2} – 2.\)
b) \({\tan ^4}x + {\cot ^4}x\) \( = {\left( {{{\tan }^2}x + {{\cot }^2}x} \right)^2} – 2\) \( = {\left( {{m^2} – 2} \right)^2} – 2\) \( = {m^4} – 4{m^2} + 2.\)
\( \Rightarrow \frac{{{{\tan }^6}x + {{\cot }^6}x}}{{{{\tan }^4}x + {{\cot }^4}x}}\) \( = \frac{{\left( {{m^2} – 2} \right)\left( {{m^4} – 4{m^2} + 1} \right)}}{{{m^4} – 4{m^2} + 2}}.\)
Bài 4: Cho \(\sin \alpha \cos \alpha = \frac{{12}}{{25}}.\) Tính \({\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha .\)
\({(\sin \alpha + \cos \alpha )^2} = 1 + \frac{{24}}{{25}}\) \( \Rightarrow \sin \alpha + \cos \alpha = \frac{7}{5}\) (do \(\cos \alpha /> 0\)).
\( \Rightarrow {\sin ^3}\alpha + {\cos ^3}\alpha \) \( = (\sin \alpha + \cos \alpha )\)\(\left( {{{\sin }^2}\alpha – \sin \alpha \cos \alpha + {{\cos }^2}\alpha } \right)\) \( = \frac{{91}}{{125}}.\)
