Đề kiểm tra học kỳ 1 Toán 9 năm học 2017 – 2018 phòng GD và ĐT Vĩnh Tường – Vĩnh Phúc gồm 4 câu hỏi trắc nghiệm và 4 bài toán tự luận, thời gian làm bài 90 phút, có đáp án và lời giải chi tiết.
Trích dẫn đề thi học kỳ 1 Toán 9:
Cho đường tròn (O;R) đường kính AB. Qua A và B vẽ lần lượt hai tiếp tuyến (d) và (d’). Một đường thẳng qua O cắt đường thẳng (d) ở M và (d’) ở P. Từ O kẻ tia Ox vuông góc với MP và cắt (d’) ở N.
a) Chứng minh OM = OP và tam giác NMP cân
b) Chứng minh MN là tiếp tuyến của (O)
c) Chứng minh AM.BN = R^2
d) Tìm vị trí của M để diện tích tứ giác AMNB là nhỏ nhất
Giải:
a) Xét ΔAMO và ΔBPO có: góc MAO = PBO = 90 độ (Tính chất tiếp tuyến)
OA = OB (bán kính)
Góc AOM = BOP (2 góc đối đỉnh)
Do đó: ΔAMO = ΔBPO (g.c.g), suy ra OM = OP (2 cạnh tương ứng)
Xét ΔMNP có: OM = OP (chứng minh trên)
NO ⊥ MP (theo giả thiết)
Suy ra ON là đường trung tuyến, đồng thời là đường cao của tam giác MNP Vậy tam giác MNP cân tại N
Gọi I là hình chiếu của điểm O trên cạnh MN vuông góc OI MN tại I
[ads]
b) Vì tam giác MNP cân tại N nên góc OMI = OPB (2 góc đáy)
Xét tam giác OMI và tam giác OPB có:
Góc OIM = OBP = 90
OM = OP (chứng minh trên)
Góc OMI OPB (chứng minh trên)
Do đó: ΔOMI = ΔOPB (cạnh huyền – góc nhọn)
Suy ra OI = OB = R
Vì OI ⊥ MN tại I và OI = OB = R nên MN là tiếp tuyến của (O;R) tại I
c) Xét ΔAMO và ΔBON có: góc AMO = BON (cùng phụ với góc AOM)
Góc MAO = OBN = 90 (Tính chất tiếp tuyến)
Do đó: ΔAMO đồng dạng với ΔBON (g.g)
Suy ra AM/BO = AO/BN
Suy ra AM.BN = AO.BO = R^2 ( Vì OA=OB=R)
d) Ta có: MA ⊥ AB (Tính chất tiếp tuyến)
NB ⊥ AB (Tính chất tiếp tuyến)
Do đó: MA // NB nên AMNB là hình thang vuông
Vì AMNB là hình thang vuông nên ta có: S AMNB = (AM + NB).AB/2
Mặt khác: AM = MI (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
BN = NI (Tính chất 2 tiếp tuyến cắt nhau)
Do đó: S AMNB = (MI + NI).AB/2 = MN.AB/2
Mà AB = 2R cố định nên AMNB S nhỏ nhất khi MN nhỏ nhất ⇔ MN // AB hay AM = R. Khi đó S AMNB = 2R^2
Vậy để diện tích tứ giác AMNB nhỏ nhất thì MN//AB và AM = R
