Bài viết trình bày tóm tắt lí thuyết giới hạn dãy số trong chương trình Đại số và Giải tích 11 chương 4: giới hạn.
I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ
1. Định nghĩa
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) được gọi là có giới hạn bằng \(0\) khi \(n\) tiến ra dương vô cực nếu với mỗi số dương nhỏ tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó. Kí hiệu: \(\lim {u_n} = 0.\) Hay là: \(\lim {u_n} = 0\) khi và chỉ khi với mọi \(\varepsilon /> 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho: \(\left| {{u_n}} \right| < \varepsilon \), \(\forall n /> {n_0}.\)
\(\lim {u_n} = a\) \( \Leftrightarrow \lim \left( {{u_n} – a} \right) = 0\), tức là: Với mọi \(\varepsilon /> 0\) nhỏ tùy ý, luôn tồn tại số tự nhiên \({n_0}\) sao cho \(\left| {{u_n} – a} \right| < \varepsilon \), \(\forall n /> {n_0}.\)
Dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) có giới hạn là số thực gọi là dãy số có giới hạn hữu hạn.
2. Một số giới hạn đặc biệt
\(\lim \frac{1}{{{n^k}}} = 0\) với \(k \in {N^*}.\)
Nếu \(|q| < 1\) thì \(\lim {q^n} = 0.\)
Nếu \({u_n} = c\) (với \(c\) là hằng số) thì \(\lim {u_n} = \lim c = c.\)
II. MỘT SỐ ĐỊNH LÍ VỀ GIỚI HẠN
1. Định lí 1: Nếu dãy số \(({u_n})\) thỏa mãn \(\left| {{u_n}} \right| < {v_n}\) kể từ số hạng nào đó trở đi và \(\lim {v_n} = 0\) thì \(\lim {u_n} = 0.\)
2. Định lí 2: Cho \(\lim {u_n} = a\), \(\lim {v_n} = b.\) Ta có:
\(\lim \left( {{u_n} + {v_n}} \right) = a + b.\)
\(\lim \left( {{u_n} – {v_n}} \right) = a – b.\)
\(\lim \left( {{u_n}.{v_n}} \right) = a.b.\)
\(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}} = \frac{a}{b}\) \((b \ne 0).\)
Nếu \({u_n} \ge 0\) với mọi \(n\) thì \(\lim \sqrt {{u_n}} = \sqrt a .\)
III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN
Cho cấp số nhân \(\left( {{u_n}} \right)\) có công bội \(q\) thỏa \(|q| < 1.\) Khi đó tổng \(S = {u_1} + {u_2} + \ldots + {u_n} + \ldots \) gọi là tổng vô hạn của cấp số nhân và \(S = \lim {S_n}\) \( = \lim \frac{{{u_1}\left( {1 – {q^n}} \right)}}{{1 – q}}\) \( = \frac{{{u_1}}}{{1 – q}}.\)
IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC
1. Định nghĩa
\(\lim {u_n} = + \infty \) \( \Leftrightarrow \) với mỗi số dương tuỳ ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều lớn hơn số dương đó.
\(\lim {u_n} = – \infty \) \( \Leftrightarrow \lim \left( { – {u_n}} \right) = + \infty .\)
2. Một số kết quả đặc biệt
\(\lim {n^k} = + \infty \) với mọi \(k /> 0.\)
\(\lim {q^n} = + \infty \) với mọi \(q /> 1.\)
3. Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực
Quy tắc 1: Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \), \(\lim {v_n} = \pm \infty \) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)\) được cho như sau:
| $\lim {u_n}$ | $\lim {v_n}$ | $\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)$ |
| $ + \infty $ | $ + \infty $ | $ + \infty $ |
| $ + \infty $ | $ – \infty $ | $ – \infty $ |
| $ – \infty $ | $ + \infty $ | $ – \infty $ |
| $ – \infty $ | $ – \infty $ | $ + \infty $ |
Quy tắc 2: Nếu \(\lim {u_n} = \pm \infty \) và \(\lim {v_n} = L \ne 0\) thì \(\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)\) được cho như sau:
| $\lim {u_n}$ | Dấu của $L$ | $\lim \left( {{u_n}{v_n}} \right)$ |
| $ + \infty $ | + | $ + \infty $ |
| $ + \infty $ | – | $ – \infty $ |
| $ – \infty $ | + | $ – \infty $ |
| $ – \infty $ | – | $ + \infty $ |
Quy tắc 3: Nếu \(\lim {u_n} = L \ne 0\), \(\lim {v_n} = 0\) và \({v_n} /> 0\) hoặc \({v_n} < 0\) kể từ một số hạng nào đó trở đi thì \(\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}\) được cho như sau:
| Dấu của $L$ | Dấu của ${v_n}$ | $\lim \frac{{{u_n}}}{{{v_n}}}$ |
| $ + \infty $ | + | $ + \infty $ |
| $ + \infty $ | – | $ – \infty $ |
| $ – \infty $ | + | $ – \infty $ |
| $ – \infty $ | – | $ + \infty $ |
