Bài viết nhắc lại và bổ sung các khái niệm về hàm số mà học sinh cần nắm vững trong chương trình Đại số 9.
A. KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I. Khái niệm hàm số
1. Nếu đại lượng \(y\) phụ thuộc vào đại lượng thay đổi \(x\) sao cho với mỗi giá trị của \(x\) ta luôn xác định chỉ một giá trị tương ứng của \(y\) thì \(y\) được gọi là hàm số của \(x\), \(x\) được gọi là biến số.
2. Hàm số có thể cho bằng bảng hoặc cho bằng công thức.
3. Khi \(y\) là hàm số của \(x\), ta có thể viết \(y = f(x)\), \(y = g(x)\) … Ta quy ước nói: cho hàm số \(y\), hay hàm số \(f(x).\)
Chẳng hạn: cho hàm số \(y = f(x) = x + 1\) hay \(y = x + 1.\)
4. Khi cho hàm số bằng công thức mà không chỉ rõ tập xác định của nó thì ta có quy ước sau: Tập xác định của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp các số thực \(x\) sao cho biểu thức \(f(x)\) có nghĩa.
5. Giá trị của hàm \(f(x)\) tại \({x_0}\) kí hiệu là \(f\left( {{x_0}} \right).\)
6. Khi \(x\) thay đổi mà \(y\) luôn nhận một giá trị không đổi thì hàm \(y\) được gọi là hàm hằng, chẳng hạn: \(y = 2.\)
II. Mặt phẳng toạ độ
1. Cặp số sắp thứ tự: Trong nhiều vấn đề toán học, người ta dùng các cặp số. Ví dụ \((x;y) = (1;2).\) Trong cách viết đã nêu, cần chú ý đến thứ tự: viết \(x\) trước, viết \(y\) sau. Một cặp số như vậy được gọi là một cặp sắp thứ tự.
2. Mặt phẳng toạ độ
Để biểu thị các số người ta dùng trục số.
Để biểu thị các cặp số sắp thứ tự, người ta dùng mặt phẳng toạ độ.
a) Mặt phẳng toạ độ là mặt phẳng trên đó vẽ hai trục số: \(Ox\) nằm ngang, \(Oy\) thẳng đứng vuông góc với nhau và cắt nhau tại \(O.\) Trục \(Ox\) được gọi là trục hoành, trục \(Oy\) gọi là trục tung. Điểm \(O\) là gốc toạ độ chung cho cả hai trục. Khi đó ta có hệ trục \(Oxy.\)
b) Trên mặt phẳng tọa độ: Mỗi điểm \(M\) xác định một cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right).\) Ngược lại mỗi cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) xác định một điểm \(M.\) Cặp số \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) gọi là toạ độ của điểm \(M\), \({x_0}\) là hoành độ và \({y_0}\) là tung độ.
Điểm \(M\) có toạ độ \(\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) được kí hiệu \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right).\)
Các điểm đặc biệt trên mặt phẳng toạ độ:
+ Điểm gốc \(O\) có toạ độ \((0;0).\)
+ Điểm nằm trên trục hoành \(Ox\) có toạ độ \((x;0).\)
+ Điểm nằm trên trục tung \(Oy\) có toạ độ \((0;y).\)
3. Tạo lưới ô vuông để có mặt phẳng toạ độ \(Oxy\):
+ Bước 1: Tô đậm dòng kẻ ngang của một tờ giấy vở.
+ Bước 2: Cài tờ giấy kẻ ngang (xoay \({90^0}\)) dưới tờ giấy của vở ghi, sao cho mép vở trùng với một dòng kẻ ngang bất kì. Tờ giấy của vở ghi hợp với tờ giấy kẻ ngang thành một lưới ô vuông hoàn chỉnh.
III. Đồ thị hàm số
1. Đồ thị của hàm số \(y = f(x)\) là tập hợp các điểm \(M(x;y)\) trên hệ trục toạ độ \(Oxy\) thoả mãn \(y = f(x).\) Hệ thức này còn được gọi là phương trình của đồ thị.
2. Điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\) \( \Leftrightarrow f\left( {{x_0}} \right) = {y_0}.\)
IV. Hàm số đồng biến – hàm số nghịch biến
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập hợp số thực \(R.\)
Với mọi \({x_1}\), \({x_2}\) thuộc \(R.\)
1. Nếu \({x_1} < {x_2}\) mà \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên \(R\) (biến tăng – hàm tăng).
2. Nếu \({x_1} < {x_2}\) mà \(f\left( {{x_1}} \right) /> f\left( {{x_2}} \right)\) thì hàm số \(y = f(x)\) nghịch biến trên \(R\) (biến tăng – hàm giảm).
3. Đồ thị hàm số \(y = f(x)\) cho ta biết chiều biến thiên của nó.
+ Đồ thị của hàm số đồng biến đi từ dưới lên trên, từ trái qua phải.
+ Đồ thị của hàm số nghịch biến đi từ trên xuống dưới, từ trái qua phải.
B. CÁC DẠNG BÀI TẬP
Dạng 1. TÍNH GIÁ TRỊ CỦA HÀM SỐ \(y = f(x)\) TẠI \(x = {x_0}.\)
I. Phương pháp giải
Thay \(x = {x_0}\) vào công thức của hàm số.
Tính giá trị biểu thức \(f\left( {{x_0}} \right).\)
II. Ví dụ
Ví dụ 1:
a) Cho hàm số \(y = f(x) = \frac{2}{3}x.\)
Tính \(f( – 2)\), \(f( – 1)\), \(f(0)\), \(f\left( {\frac{1}{2}} \right)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3).\)
b) Cho hàm số \(y = g(x) = \frac{2}{3}x + 3.\)
Tính \(g( – 2)\), \(g( – 1)\), \(g(0)\), \(g\left( {\frac{1}{2}} \right)\), \(g(1)\), \(g(2)\), \(g(3).\)
c) Có nhận xét gì về giá trị của hai hàm số đã cho ở trên khi biến \(x\) lấy cùng một giá trị?
a) Xét \(y = f(x) = \frac{2}{3}x.\)
Thay \(x = -2\) vào công thức của hàm số trên ta được:
\(f( – 2) = \frac{2}{3}( – 2) = – \frac{4}{3}.\)
Tương tự:
\(f( – 1) = – \frac{2}{3}\), \(f(0) = 0\), \(f(1) = \frac{2}{3}\), \(f(2) = \frac{4}{3}\), \(f(3) = 2.\)
b) \(y = g(x) = \frac{2}{3}x + 3.\)
Thay \(x = -2\) vào công thức của hàm số trên ta được:
\(g( – 2) = \frac{2}{3}( – 2) + 3\) \( = – \frac{4}{3} + 3 = \frac{5}{3}.\)
Tương tự:
\(g( – 1) = – \frac{2}{3} + 3 = \frac{7}{3}.\)
\(g(0) = 3.\)
\(g\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{3} + 3 = \frac{{10}}{3}.\)
\(g(1) = \frac{2}{3} + 3 = \frac{{11}}{3}.\)
\(g(2) = \frac{4}{3} + 3 = \frac{{13}}{3}.\)
\(g(3) = 2 + 3 = 5.\)
c) Khi biến \(x\) lấy cùng một giá trị thì giá trị của hàm số \(y = g(x)\) luôn lớn hơn giá trị của hàm số \(y = f(x)\) là \(3\) đơn vị.
Ví dụ 2: Cho các hàm số \(y = 0,5x\) và \(y = 0,5x + 2.\)
a) Tính giá trị của mỗi hàm số theo giá trị đã cho của biến \(x\) rồi điền vào bảng sau:
b) Có nhận xét gì về các giá trị tương ứng của hai hàm số khi biến \(x\) lấy cùng một giá trị?
a) Giá trị tương ứng của \(y\) theo \(x\) được cho bởi bảng sau:
b) Khi biến \(x\) lấy cùng một giá trị thì giá trị của hàm số \(y = 0,5x + 2\) luôn lớn hơn giá trị của hàm số \(y = 0,5x\) là \(2\) đơn vị.
Ví dụ 3: Cho hàm số: \(y = \sqrt x + 1.\)
a) Tìm tập xác định của hàm số.
b) Tính \(f( – 2)\), \(f( – 1)\), \(f(0)\), \(f(3 – 2\sqrt 2 )\), \(f(4 + 2\sqrt 3 ).\)
c) Trong các điểm \(A(0;1)\), \(B(1;3)\), \(C(4;3)\) điểm nào thuộc đồ thị và điểm nào không thuộc đồ thị hàm số.
a) Tập xác định của hàm số là tập hợp các số thực \(x\) sao cho \(\sqrt x \) có nghĩa, tức là \(\{ x \in R|x \ge 0\} .\)
b) Vì \(x = -2 < 0\) không thuộc tập xác định của hàm số nên \(f(-2)\) không xác định.
Vì \(x = -1 < 0\) không thuộc tập xác định của hàm số nên \(f(-1)\) không xác định.
Thay \(x = 0\) vào công thức của hàm số ta được \(f(0) = \sqrt 0 + 1 = 1.\)
Vì \(x = 3 – 2\sqrt 2 \) \( = {(\sqrt 2 – 1)^2}\) nên \(f(3 – 2\sqrt 2 )\) \( = \sqrt {{{(\sqrt 2 – 1)}^2}} + 1\) \( = \sqrt 2 – 1 + 1 = \sqrt 2 .\)
Vì \(x = 4 + 2\sqrt 3 \) \( = {(\sqrt 3 + 1)^2}\) nên \(f(4 + 2\sqrt 3 ) = \sqrt {{{(\sqrt 3 + 1)}^2}} + 1\) \( = \sqrt 3 + 1 + 1 = \sqrt 3 + 2.\)
c) Điểm \(A(0;1)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \sqrt x + 1\) vì \(\sqrt 0 + 1 = 1.\)
Điểm \(B(1;3)\) không thuộc đồ thị hàm số \(y = \sqrt x + 1\) vì \(\sqrt 1 + 1 \ne 3.\)
Điểm \(C(4;3)\) thuộc đồ thị hàm số \(y = \sqrt x + 1\) vì \(\sqrt 4 + 1 = 3.\)
III. Bài tập
1. Cho hàm số \(y = f(x) = x +1.\)
Tính \(f(-3)\), \(f\left( { – 1\frac{1}{2}} \right)\), \(f(0)\), \(f\left( {1\frac{2}{3}} \right).\)
2. Cho hàm số \(y = g(x) = \frac{2}{x}.\)
a) Tìm \(x\) để giá trị của hàm số không xác định.
b) Tính \(g( – 1)\), \(g\left( { – \frac{1}{2}} \right)\), \(g(0)\), \(g\left( {\frac{1}{3}} \right).\)
c) Trong các điểm \(M( – 1; – 2)\), \(N(2;0)\), \(P\left( {\frac{1}{2};4} \right)\) điểm nào thuộc và điểm nào không thuộc đồ thị hàm số.
3. Cho hàm số \(y = f(x) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
x&{{\rm{nếu\:}}x \ge 0}\\
{ – x}&{{\rm{nếu\:}}x < 0}
\end{array}} \right..\)
a) Tính \(f(-3)\), \(f(-2)\), \(f(-1)\), \(f(0)\), \(f(1)\), \(f(2)\), \(f(3).\)
b) Có nhận xét gì về giá trị tương ứng của hàm số khi biến \(x\) lấy hai giá trị đối nhau.
Dạng 2. CHỨNG MINH HÀM SỐ ĐỒNG BIẾN HOẶC NGHỊCH BIẾN.
I. Phương pháp giải
1. Tìm tập xác định của hàm số.
2. Xác định \(f\left( {{x_1}} \right)\), \(f\left( {{x_2}} \right).\)
3. Sắp thứ tự \(f\left( {{x_1}} \right)\), \(f\left( {{x_2}} \right)\) nhờ thứ tự của \({x_1}\), \({x_2}\) rồi rút ra kết luận.
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Cho hàm số \(y = f(x) = 3x.\) Cho các giá trị thực bất kỳ \({x_1}\), \({x_2}\) sao cho \({x_1} < {x_2}.\) Hãy chứng minh \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right)\) rồi rút ra kết luận hàm số đã cho đồng biến trên tập hợp số thực \(R.\)
Hàm số đã cho xác định trên tập số thực \(R.\)
Với \({x_1},{x_2} \in R\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) = 3{x_1}\), \(f\left( {{x_2}} \right) = 3{x_2}.\)
Từ \({x_1} < {x_2}\) \( \Rightarrow 3{x_1} < 3{x_2}\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) < f\left( {{x_2}} \right).\)
Vậy hàm số đã cho đồng biến trên tập số thực \(R.\)
Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = f(x) = -2x.\) Chứng minh hàm số nghịch biến trên tập số thực \(R.\)
Hàm số đã cho xác định trên tập số thực \(R.\)
Với \({x_1},{x_2} \in R\) thì \(f\left( {{x_1}} \right) = – 2{x_1}\), \(f\left( {{x_2}} \right) = – 2{x_2}.\)
Từ \({x_1} < {x_2}\) \( \Rightarrow – 2{x_1} /> – 2{x_2}\) hay \(f\left( {{x_1}} \right) /> f\left( {{x_2}} \right).\)
Điều đó chứng tỏ hàm số đã cho nghịch biến trên tập số thực \(R.\)
III. Bài tập
4. Chứng minh hàm số \(y = f(x) = \frac{2}{3}x – 1\) đồng biến trên tập hợp số thực \(R.\)
5. Chứng minh hàm số \(y = f(x) = -3x + 2\) nghịch biến trên tập hợp số thực \(R.\)
Dạng 3. BIỂU DIỄN ĐIỂM TRÊN MẶT PHẲNG TOẠ ĐỘ.
Đồ thị của hàm số \(y = ax\) \((a \ne 0).\)
Đồ thị của hàm hằng \(y = b.\)
I. Phương pháp giải
Sử dụng lưới ô vuông để vẽ hệ trục toạ độ vuông góc \(Oxy.\)
1. Biểu diễn điểm \(M\left( {{x_0};{y_0}} \right)\) trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)
Bước 1: Từ điểm có hoành độ \({x_0}\) trên trục \(Ox\) kẻ đường thẳng (nét đứt) vuông góc với \(Ox.\)
Bước 2: Từ điểm có tung độ \({y_0}\) trên trục \(Oy\) kẻ đường thẳng (nét đứt) vuông góc với \(Oy.\) Giao điểm của hai đường vuông góc nói trên là điểm \(M.\)
2. Tìm toạ độ của điểm \(N\) trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy.\)
Bước 1: Kẻ \(NP \bot Ox\) (nét đứt), điểm \(P \in Ox\) biểu thị một số thực \({x_0}\) gọi là hoành độ của điểm \(N.\)
Bước 2: Kẻ \(NQ \bot Oy\) (nét đứt), điểm \(Q \in Oy\) biểu thị một số thực \({y_0}\) gọi là tung độ của điểm \(N.\)
3. Đồ thị của hàm số \(y = ax\) \((a \ne 0)\) là một đường thẳng đi qua gốc toạ độ.
Bước 1: Tìm một điểm \(M\) của đồ thị, khác điểm gốc \(O\) bằng cách cho \(x\) một giá trị khác \(0\) và tìm giá trị tương ứng của \(y.\)
Bước 2: Vẽ hệ trục toạ độ \(Oxy\) xác định điểm \(M\) có toạ độ vừa tìm ở trên thì đường thẳng \(OM\) là đồ thị của hàm số \(y = ax.\)
II. Ví dụ
Ví dụ 1: Hãy biểu diễn các điểm sau trên mặt phẳng toạ độ: \(A(-3;0)\), \(B(-1;1)\), \(C(0;3)\), \(D(1;1)\), \(E(3;0)\), \(F(1;-1)\), \(G(-1;-1).\)
Xem hình vẽ.
Ví dụ 2: Cho hàm số \(y = 2x\) và \(y = -2x.\) Vẽ trên cùng mặt phẳng toạ độ đồ thị của hai hàm số đã cho. Trong hai hàm số đã cho, hàm số nào đồng biến, hàm số nào nghịch biến? Vì sao?
Ta lập bảng giá trị ứng với hai giá trị của \(x\) của hai hàm số.
Nối \(OA\) ta được đường thẳng là đồ thị hàm số \(y = 2x.\)
Nối \(OB\) ta được đồ thị hàm số \(y = -2x.\)
Hàm số \(y = 2x\) đồng biến vì hàm số này có đồ thị đi từ dưới lên trên từ trái qua phải.
Hàm số \(y = -2x\) nghịch biến vì hàm số này có đồ thị đi từ trên xuống dưới từ trái qua phải.
Ví dụ 3: Cho hàm số \(y = 3.\)
a) Xác định giá trị của hàm số tại \(x = -2\), \(-1\), \(0\), \(1\), \(2.\)
b) Biểu diễn các điểm: \((-2;3)\), \((-1;3)\), \((0;3)\), \((1;3)\), \((2;3)\) trên mặt phẳng toạ độ.
c) Nêu nhận xét và vẽ đồ thị của hàm số \(y = 3.\)
a) Vì \(y = f(x)= 3\) với mọi \(x\) (do hàm hằng không chứa biến \(x\)) nên \(f(-2) = f(-1) = f(0)\) \(= f(1) = f(2)= 3.\)
b) Như hình vẽ trên.
c) Đồ thị của hàm số \(y = 3\) là một đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm \((0;3).\) Đường thẳng này gọi là đường thẳng \(y = 3.\)
Ví dụ 4: Đồ thị hàm số \(y = \sqrt 3 x\) được vẽ bằng thước và compa như ở hình vẽ sau. Hãy tìm hiểu và trình bày lại các bước thực hiện đó.
Lập bảng giá trị tại hai giá trị \(x\) của hàm số:
Then chốt của bài này là dựng đoạn \(OE = \sqrt 3 \) bằng thước và com pa.
Vì \(OE = \sqrt {{{(\sqrt 2 )}^2} + {1^2}} \) nên \(OE = OD\) là cạnh huyền \(OD\) của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là \(OC = \sqrt 2 \) và \(CD = 1.\) Lại có: \(OC = OB\) là cạnh huyền của tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông bằng \(1.\) Từ đó suy ra các bước vẽ đồ thị như sau:
Bước 1: Xác định điểm \(B(1;1).\)
Bước 2: Vẽ đường tròn \((O;OB)\) cắt \(Ox\) tại \(C\) thì \(OC = \sqrt 2 .\)
Bước 3: Xác định điểm \(D(\sqrt 2 ;1).\)
Bước 4: Vẽ đường tròn \((O;OD)\) cắt \(Oy\) tại \(E\), ta có \(OE = \sqrt 3 .\)
Bước 5: Xác định điểm \(A(1;\sqrt 3 )\), nối \(OA\) thu được đồ thị hàm số \(y = \sqrt 3 x.\)
Ví dụ 5:
a) Vẽ đồ thị của các hàm số \(y = x\), \(y = 2x\) trên cùng một mặt phẳng tọa độ \(Oxy.\)
b) Đường thẳng \(y = 4\) lần lượt cắt các đường thẳng \(y = 2x\), \(y = x\) tại điểm \(A\) và \(B.\) Tìm toạ độ các điểm \(A\) và \(B\) và tính chu vi, diện tích của tam giác \(ОАВ.\)
a) Lập bảng giá trị của hai hàm số.
Nối \(MO\) ta được đồ thị hàm số \(y=x.\)
Nối \(NO\) ta được đồ thị hàm số \(y = 2x.\)
b) Quan sát trên lưới ô vuông ở đầu bài ta thấy \(A(2;4)\), \(B(4;4).\) Xét tam giác \(OAB\) có \(AB = 2\), \(OA\) là cạnh huyền của tam giác vuông có hai cạnh góc vuông là \(4\) và \(2\), \(OB\) là cạnh huyền của tam giác vuông cân có hai cạnh góc vuông là \(4.\)
Áp dụng hệ thức Pytago ta được:
\(OA = \sqrt {{2^2} + {4^2}} = \sqrt {20} \) (cm).
\(OB = \sqrt {{4^2} + {4^2}} = \sqrt {32} \) (cm).
Vậy chu vi tam giác \(OAB\) là: \(P = 2 + \sqrt {20} + \sqrt {32} \) \( \approx 12,13\) (cm).
Diện tích tam giác \(OAB\) là: \(S = \frac{1}{2}.2.4 = 4\) \(\left( {c{m^2}} \right).\)
III. Bài tập
6. Vẽ đồ thị hàm số hằng \(y = 2.\)
7. Trên mặt phẳng toạ độ \(Oxy\) dựng đoạn thẳng có độ dài \(\sqrt 5 \) bằng thước kẻ và compa. Từ đó vẽ đồ thị hàm số \(y = \sqrt 5 x.\)
