toanmax.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 10 đề thi Olympic truyền thống 30 tháng 04 năm 2025 lần thứ XXIX môn Toán 10 trường THPT chuyên Lê Hồng Phong, thành phố Hồ Chí Minh. Kỳ thi được diễn ra vào ngày 05 tháng 04 năm 2025. Đề thi có đáp án, lời giải chi tiết và hướng dẫn chấm điểm.
Trích dẫn Đề thi Olympic 30 tháng 04 năm 2025 Toán 10 trường chuyên Lê Hồng Phong – TP HCM:
+ Các số thực dương a1, a2, …, a100 được viết trên một vòng tròn theo thứ tự đó. Biết rằng mỗi số lớn hơn tích của hai số liền trước nó: với mọi 1 ≤ i ≤ 100 thì toanmax.vn+1 < ai+2 (ta quy ước a101 = a1, a102 = a2). Hỏi có nhiều nhất bao nhiêu số nguyên dương trong các số a1, a2, …, a100.
+ Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O). Các đường thẳng AD và BC cắt nhau tại P, các đường thẳng AC và BD cắt nhau tại Q. Gọi M và N tương ứng là trung điểm của AD và BC. Ký hiệu (L) và (K) tương ứng là đường tròn ngoại tiếp tam giác QAD và tam giác QBC. Đường thẳng MQ cắt lại (K) tại điểm E (khác Q), đường thẳng NQ cắt lại (L) tại điểm F (khác Q). a) Chứng minh rằng các điểm P, O, E, F, M, N cùng thuộc một đường tròn. b) Đường thẳng đi qua L và vuông góc với QF cắt đường thẳng đi qua K và vuông góc với QE tại điểm T. Chứng minh rằng các điểm T, P và O thẳng hàng.
