toanmax.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh lớp 12 đề thi lập đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán THPT năm học 2024 – 2025 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Tiền Giang; kỳ thi được diễn ra vào ngày 17 tháng 18 tháng 09 năm 2024.
Trích dẫn Đề lập đội tuyển thi HSG QG môn Toán THPT năm 2024 – 2025 sở GD&ĐT Tiền Giang:
+ Cho đa thức P(x) hệ số nguyên có bậc n ≥ 5 và P(0) = 0. Biết rằng P(x) có n nghiệm nguyên phân biệt và hệ số của bậc cao nhất là số dương. a) Chứng minh rằng đa thức Q(x) = P(x) – 1 không phân tích được thành tích của 2 đa thức hệ số nguyên có bậc không nhỏ hơn 1. b) Chứng minh rằng tập các nghiệm nguyên của đa thức H(x) = P(P(x)) trùng với tập các nghiệm nguyên của đa thức P(x).
+ Cho tam giác không cân ABC nội tiếp đường tròn (O) (BC không là đường kính). Giả sử đường tròn (O) và hai điểm B, C cố định; A là điểm thay đổi trên cung lớn BC (A khác B, C). I là trung điểm BC. D là điểm đối xứng với A qua O. BD cắt AC tại E; CD cắt AB tại F. M là trung điểm BF, N là trung điểm CE. Gọi K là hình chiếu vuông góc của D trên BC. AI cắt lại (O) tại L khác A. a) Chứng minh bốn điểm M, N, I, K cùng thuộc một đường tròn. b) Chứng minh KL luôn đi qua một điểm cố định.
+ Trong bảng 10 x 10, viết các chữ số 0, 1, 2, 3, …, 9 theo thứ tự tùy ý vào các ô vuông, mỗi ô vuông một chữ số, sao cho mỗi chữ số xuất hiện 10 lần. a) Hỏi có thể làm điều này sao cho mỗi hàng và mỗi cột chứa không quá bốn chữ số phân biệt không? b) Chứng minh rằng tồn tại một hàng hoặc một cột trong đó có ít nhất bốn chữ số khác nhau.
