toanmax.vn giới thiệu đến quý thầy, cô giáo và các em học sinh đề thi chọn đội tuyển dự thi học sinh giỏi cấp Quốc gia môn Toán năm học 2023 – 2024 sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Hưng Yên; kỳ thi được diễn ra trong hai ngày: ngày thi thứ nhất 28/08/2023 và ngày thi thứ hai: 29/08/2023.
Trích dẫn Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2023 – 2024 sở GD&ĐT Hưng Yên:
+ Tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và đường tròn ngoại tiếp (O), đường phân giác trong của góc BAC cắt BC tại K. Điểm Q nằm trên đường tròn (O) sao cho AQ vuông góc QK. Đường tròn ngoại tiếp tam giác AQH cắt AC, AB lần lượt tại Y, Z. Gọi T là giao điểm của BY và CZ, P là giao điểm của YZ và BC. a) Chứng minh rằng PZ/PY = BH/HC. b) Chứng minh rằng TH vuông góc KA.
+ Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Đường tròn nội tiếp (I) của tam giác ABC lần lượt tiếp xúc với BC, CA, AB tại D, E, F. Biết AI cắt BC tại S và cắt (O) tại điểm thứ hai là M. Các đường tròn ngoại tiếp tam giác BSM, CSM cắt ME, MF tương ứng tại K và L (K và L khác M). a) Chứng minh rằng bốn điểm I, L, S, K cùng nằm trên một đường tròn. b) Gọi T là giao điểm thứ hai của MD với (O). Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác TKL tiếp xúc với (O).
+ Cô giáo có tất cả 2278 viên kẹo thuộc về k loại kẹo khác nhau. Cô chia cho các học sinh của mình mỗi người một số viên kẹo và không có học sinh nào nhận nhiều hơn một viên kẹo ở cùng một loại kẹo. Cô yêu cầu hai học sinh khác nhau bất kỳ so sánh các viên kẹo mình nhận được và viết số loại kẹo mà cả hai cùng có lên bảng. Biết rằng mỗi cặp học sinh bất kỳ đều được lên bảng đúng một lần. Gọi tổng các số được viết lên bảng là M. Xác định giá trị nhỏ nhất của M trong mỗi trường hợp sau: a) k = 67. b) k = 68.
