Bài viết hướng dẫn phương pháp giải bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số lượng giác.
Dạng toán 1. Tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác sử dụng điều kiện \( – 1 \le \sin x \le 1\), \( – 1 \le \cos x \le 1.\)
Bài toán 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(A = \sin x + \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right).\)
A. \(-1.\)
B. \(0.\)
C. \(-2.\)
D. \(\frac{{\sqrt 3 }}{2}.\)
Chọn A.
Ta có \(A = \sin x + \sin \left( {x + \frac{{2\pi }}{3}} \right)\) \( = 2\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right)\cos \frac{\pi }{3}\) \( = \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right).\)
\( – 1 \le \sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\) \( \Leftrightarrow – 1 \le A \le 1\), \(\forall x \in R.\)
Vậy \(\mathop {\min }\limits_{x \in R} A = – 1\) khi \(\sin \left( {x + \frac{\pi }{3}} \right) = – 1\) \( \Leftrightarrow x = – \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi \), \(k \in Z.\)
Bài toán 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \(A = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x.\)
A. \(1.\)
B. \(0.\)
C. \(2.\)
D. \(\frac{1}{2}.\)
Chọn A.
Ta có \(A = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\) \( = 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x.\)
\(0 \le {\sin ^2}2x \le 1\) \( \Leftrightarrow \frac{1}{2} \le 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1\), \(\forall x \in R.\)
Vậy \(\mathop {\max }\limits_{x \in R} A = 1\) khi \({\sin ^2}x = 1\) \( \Leftrightarrow \cos x = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k\pi \), \(k \in Z.\)
Bài toán 3: Tập giá trị của hàm số \(y = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x + 1\) là đoạn \([a;b].\) Tính tổng \(T = a + b.\)
A. \(T = 1.\)
B. \(T = 2.\)
C. \(T = 0.\)
D. \(T = -1.\)
Chọn B.
Cách 1: \(y = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x + 1\) \( \Leftrightarrow \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x = y – 1.\)
Để phương trình trên có nghiệm thì \({1^2} + {(\sqrt 3 )^2} \ge {(y – 1)^2}\) \( \Leftrightarrow {y^2} – 2y – 3 \le 0\) \( \Leftrightarrow – 1 \le y \le 3.\)
Suy ra \(y \in [ – 1;3].\) Vậy \(T = – 1 + 3 = 2.\)
Cách 2: \(y = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x + 1\) \( = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 1.\)
Do \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \in [ – 1;1]\) nên \(2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 1 \in [ – 1;3].\)
Vậy \( – 1 \le y \le 3.\)
Ta thấy \(y = – 1\) khi \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = – 1\), \(y = 3\) khi \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = 1.\)
Bài toán 4: Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\)(m) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\)(h) được cho bởi công thức \(h = 3\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 12.\) Khi nào mực nước của kênh là cao nhất với thời gian ngắn nhất?
A. \(t = 22\)(h).
B. \(t = 15\)(h).
C. \(t = 14\)(h).
D. \(t = 10\)(h).
Chọn D.
Ta có: \( – 1 \le \cos \left( {\frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3}} \right) \le 1\) \( \Leftrightarrow 9 \le h \le 15.\) Do đó mực nước cao nhất của kênh là \(15\)m đạt được khi \(\cos \left( {\frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\) \( \Leftrightarrow \frac{\pi }{6}t + \frac{\pi }{3} = k2\pi \) \( \Leftrightarrow t = – 2 + 12k.\)
Vì \(t /> 0\) \( \Leftrightarrow – 2 + 12k /> 0\) \( \Leftrightarrow k /> \frac{1}{6}.\) Chọn số \(k\) nguyên dương nhỏ nhất thoả \(k /> \frac{1}{6}\) là \(k = 1\) \( \Rightarrow t = 10.\)
Bài toán 5: Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = – 1 + 2\cos x[(2 – \sqrt 3 )\sin x + \cos x]\) trên \(R.\) Biểu thức \(M + N + 2\) có giá trị bằng?
A. \(0.\)
B. \(4\sqrt {2 – \sqrt 3 } .\)
C. \(2.\)
D. \(\sqrt {2 + \sqrt 3 } + 2.\)
Chọn C.
Ta có \(y = – 1 + 2\cos x[(2 – \sqrt 3 )\sin x + \cos x]\) \( = – 1 + 2(2 – \sqrt 3 )\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x.\)
\( = (2 – \sqrt 3 )\sin 2x + \left( {2{{\cos }^2}x – 1} \right)\) \( = (2 – \sqrt 3 )\sin 2x + \cos 2x.\)
\( = (\sqrt 6 – \sqrt 2 )\left[ {\frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4}\sin 2x + \frac{1}{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}\cos 2x} \right]\) \( = (\sqrt 6 – \sqrt 2 )\sin (2x + \alpha )\) với \(\frac{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }}{4} = \cos \alpha \), \(\frac{1}{{\sqrt 6 – \sqrt 2 }} = \sin \alpha .\)
Suy ra \( – \sqrt 6 + \sqrt 2 \le y \le \sqrt 6 – \sqrt 2 .\)
Do đó \(\mathop {\max }\limits_R y = \sqrt 6 – \sqrt 2 = M\), \(\mathop {\min }\limits_R y = – \sqrt 6 + \sqrt 2 = N.\)
Vậy \(M + N + 2 = 2.\)
Bài toán 6: Số giờ có ánh sáng của một thành phố X ở vĩ độ \({40^0}\) bắc trong ngày thứ \(t\) của một năm không nhuận được cho bởi hàm số: \(d(t) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t – 80)} \right] + 12\), \(t \in Z\) và \(0 < t \le 365.\) Vào ngày nào trong năm thì thành phố X có nhiều giờ ánh sáng nhất?
A. \(262.\)
B. \(353.\)
C. \(80.\)
D. \(171.\)
Chọn D.
Ta có: \(d(t) = 3\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t – 80)} \right] + 12\) \( \le 3 + 12 = 15.\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\sin \left[ {\frac{\pi }{{182}}(t – 80)} \right] = 1\) \( \Leftrightarrow \frac{\pi }{{182}}(t – 80) = \frac{\pi }{2} + k2\pi \) \((k \in Z).\)
\( \Leftrightarrow t = 171 + 364k.\)
Mặt khác \(t \in (0;365]\) nên \(0 < 171 + 364k \le 365\) \( \Leftrightarrow – \frac{{171}}{{364}} < k \le \frac{{194}}{{364}}.\)
Mà \(k \in Z\) nên \(k = 0.\)
Vậy \(t = 171.\)
Bài toán 7: Hàm số \(y = 2\cos 3x + 3\sin 3x – 2\) có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên?
A. \(7.\)
B. \(3.\)
C. \(5.\)
D. \(6.\)
Chọn A.
Tập xác định: \(D = R.\)
\(y = 2\cos 3x + 3\sin 3x – 2\) \( = \sqrt {13} \left( {\frac{2}{{\sqrt {13} }}\cos 3x + \frac{3}{{\sqrt {13} }}\sin 3x} \right) – 2.\)
\( \Leftrightarrow y = \sqrt {13} \sin \left( {3x + \arccos \frac{3}{{\sqrt {13} }}} \right) – 2.\)
Để hàm số \(y\) có giá trị nguyên \( \Leftrightarrow \sqrt {13} \sin \left( {3x + \arccos \frac{3}{{\sqrt {13} }}} \right)\) nguyên.
\( \Leftrightarrow \sin \left( {3x + \arccos \frac{3}{{\sqrt {13} }}} \right) = \frac{n}{{\sqrt {13} }}\) (với \(n\) là một số nguyên).
Mà: \(\sin \left( {3x + \arccos \frac{3}{{\sqrt {13} }}} \right) \in [ – 1;1]\) \( \Rightarrow – 1 \le \frac{n}{{\sqrt {13} }} \le 1\) \( \Leftrightarrow – \sqrt {13} \le n \le \sqrt {13} .\)
Mà: \(n \in Z\) \( \Rightarrow n = \{ 0; \pm 1; \pm 2 \pm 3\} .\)
\( \Rightarrow y\) có \(7\) giá trị nguyên.
Bài toán 8: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sau \(y = 2{\sin ^2}x + {\cos ^2}2x.\)
A. \(\max y = 4\), \(\min y = \frac{3}{4}.\)
B. \(\max y = 3\), \(\min y = 2.\)
C. \(\max y = 4\), \(\min y = 2.\)
D. \(\max y = 3\), \(\min y = \frac{3}{4}.\)
Chọn D.
Đặt \(t = {\sin ^2}x\), \(0 \le t \le 1\) \( \Rightarrow \cos 2x = 1 – 2t.\)
\( \Rightarrow y = 2t + {(1 – 2t)^2}\) \( = 4{t^2} – 2t + 1\) \( = {\left( {2t – \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4}.\)
Cách 1: Do \(0 \le t \le 1\) \( \Rightarrow – \frac{1}{2} \le 2t – \frac{1}{2} \le \frac{3}{2}\) \( \Rightarrow 0 \le {\left( {2t – \frac{1}{2}} \right)^2} \le \frac{9}{4}\) \( \Rightarrow \frac{3}{4} \le y \le 3.\)
Cách 2: Có \(y’ = 8t – 2\) \( \Rightarrow y’ = 0\) \( \Leftrightarrow t = \frac{1}{4} \in [0;1].\)
Ta có: \(y(0) = 1\), \(y\left( {\frac{1}{4}} \right) = \frac{3}{4}\), \(y(1) = 3.\)
Vậy:
\(\max y = 3\) đạt được khi \(x = \frac{\pi }{2} + k\pi .\)
\(\min y = \frac{3}{4}\) đạt được khi \({\sin ^2}x = \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow \frac{{1 – \cos 2x}}{2} = \frac{1}{4}\) \( \Leftrightarrow \cos 2x = \frac{1}{2}\) \( \Leftrightarrow 2x = \pm \frac{\pi }{3} + k2\pi \) \( \Leftrightarrow x = \pm \frac{\pi }{6} + k\pi .\)
Bài toán 9: Gọi \(M\) và \(m\) lần lượt là GTLN và GTNN của hàm số \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + \sin 2x.\) Tổng \(M + m\) là?
A. \(\frac{{ – 3}}{2}.\)
B. \( – \frac{1}{2}.\)
C. \(\frac{3}{2}.\)
D. \(1.\)
Chọn D.
Ta có: \(y = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x + \sin 2x\) \( = 1 – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x + \sin 2x\) \( = – \frac{1}{2}{\sin ^2}2x + \sin 2x + 1.\)
Đặt \(t = \sin 2x\) \(( – 1 \le t \le 1).\)
\(y = – \frac{1}{2}{t^2} + t + 1\) \(( – 1 \le t \le 1)\) là parabol có đỉnh \(I\left( { – \frac{b}{{2a}};y\left( {\frac{{ – b}}{{2a}}} \right)} \right)\) \( \Rightarrow I\left( {1;\frac{3}{2}} \right)\) \( \Rightarrow t = 1 \in [ – 1;1].\)
\(y( – 1) = – \frac{1}{2}\), \(y(1) = \frac{3}{2}.\)
Suy ra \(M = \frac{3}{2}\), \(m = \frac{{ – 1}}{2}.\)
Vậy \(M + m = 1.\)
Dạng toán 2. Tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác có dạng \(y = a\sin x + b\cos x + c.\)
Bài toán 10: Cho hàm số \(y = \frac{{\sin x – 2\cos x}}{{\sin x + \cos x + 3}}.\) Gọi \(m\), \(M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số đã cho. Tính \(7m – 5M\) bằng?
A. \(10.\)
B. \(1.\)
C. \(0.\)
D. \(-10.\)
Chọn D.
Tập xác định: \(D = R.\)
Ta có: \(y = \frac{{\sin x – 2\cos x}}{{\sin x + \cos x + 3}}\) \( \Leftrightarrow (1 – y)\sin x – (y + 2)\cos x = 3y.\)
Phương trình trên có nghiệm \( \Leftrightarrow {(1 – y)^2} + {(y + 2)^2} \ge 9{y^2}.\)
\( \Leftrightarrow 7{y^2} – 2y – 5 \le 0\) \( \Leftrightarrow – \frac{5}{7} \le y \le 1\) \( \Rightarrow m = – \frac{5}{7}\), \(M = 1.\)
Vậy \(7m – 5M = – 5 – 5 = – 10.\)
Bài toán 11: Hàm số \(y = \frac{{3\sin 4x – 4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)}}{{2{{\cos }^2}2x – \sin 4x + 2}}\) có giá trị lớn nhất \(M\) và giá trị nhỏ nhất \(m.\) Khi đó tổng \(M + m\) bằng?
A. \(0.\)
B. \( – \frac{5}{7}.\)
C. \( – \frac{{10}}{7}.\)
D. \(\frac{3}{7}.\)
Chọn C.
Tập xác định: \(D = R.\)
Ta có: \(3\sin 4x – 4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)\) \( = 3\sin 4x – 4\left( {1 – 2{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x} \right)\) \( = 2{\sin ^2}2x + 3\sin 4x – 4\) \( = 3\sin 4x – \cos 4x – 3.\)
Xét mẫu thực: \(2{\cos ^2}2x – \sin 4x + 2\) \( = \cos 4x – \sin 4x + 3.\)
Suy ra \(y = \frac{{3\sin 4x – 4\left( {{{\sin }^4}x + {{\cos }^4}x} \right)}}{{2{{\cos }^2}2x – \sin 4x + 2}}\) \( = \frac{{3\sin 4x – \cos 4x – 3}}{{\cos 4x – \sin 4x + 3}}.\)
\( \Leftrightarrow (3 + y)\sin x – (y + 1)\cos x = 3y + 3.\)
Phương trình trên có nghiệm \( \Leftrightarrow {(3 + y)^2} + {(y + 1)^2} \ge {(3y + 3)^2}.\)
\( \Leftrightarrow 7{y^2} + 10y – 1 \le 0\) \( \Leftrightarrow \frac{{ – 5 – 4\sqrt 2 }}{7} \le y \le \frac{{ – 5 + 4\sqrt 2 }}{7}\) \( \Rightarrow m + M = – \frac{{10}}{7}.\)
Bài toán 12: Giá trị lớn nhất \(M\), giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(y = 2{\cos ^2}x – 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 1\) là?
A. \(M = 4\), \(m = 0.\)
B. \(M = 3\), \(m = 0.\)
C. \(M = 3\), \(m = 1.\)
D. \(M = 4\), \(m = 1.\)
Chọn A.
Tập xác định: \(D = R.\)
Ta có: \(y = 2{\cos ^2}x – 2\sqrt 3 \sin x\cos x + 1\) \( = \cos 2x – \sqrt 3 \sin 2x + 2\) \( = 2\left( {\frac{1}{2}\cos 2x – \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x} \right) + 2\) \( = 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2.\)
Mặt khác \(0 \le 2\cos \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 2 \le 4\), \(\forall x \in R\) \( \Leftrightarrow 0 \le y \le 4\), \(\forall x \in R.\)
Vậy:
Giá trị lớn nhất của hàm số là \(M = 4\) khi \(x = \frac{{ – \pi }}{6} + k\pi .\)
Giá trị nhỏ nhất của hàm số là \(m = 0\) khi \(x = \frac{\pi }{3} + k\pi .\)
Bài toán 13: Cho hàm số \(y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}.\) Gọi \(M\), \(m\) lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số. Tổng \(M + m\) bằng?
A. \(1.\)
B. \(-2.\)
C. \(-1.\)
D. \(2.\)
Chọn C.
Tập xác định \(D = R\) (do \(\sin x + \cos x + 2 /> 0\), \(\forall x \in R\)).
Xét phương trình: \(y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}\) \( \Leftrightarrow (1 – y)\sin x + (2 – y)\cos x + 1 – 2y = 0.\)
Phương trình trên có nghiệm \( \Leftrightarrow {(1 – y)^2} + {(2 – y)^2} \ge {(1 – 2y)^2}\) \( \Leftrightarrow {y^2} + y – 2 \le 0\) \( \Leftrightarrow – 2 \le y \le 1.\)
Vậy \(M = 1\), \(m = – 2\) \( \Rightarrow M + m = – 1.\)
Bài toán 14: Giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x – \sin x + 4}}\) là?
A. \(3 – 2\sqrt 3 .\)
B. \(2.\)
C. \(-1.\)
D. \(0.\)
Chọn B.
Xét phương trình \(2\cos x – \sin x + 4 = 0\) \((1).\)
Ta có: \({2^2} + {( – 1)^2} < {4^2}\) nên phương trình \((1)\) vô nghiệm, hay \(2\cos x – \sin x + 4 \ne 0\), \(\forall x \in R.\)
Do đó hàm số đã cho có tập xác định \(D = R.\)
\(y = \frac{{\cos x + 2\sin x + 3}}{{2\cos x – \sin x + 4}}\) \( \Leftrightarrow (2y – 1)\cos x – (y + 2)\sin x = 3 – 4y\) \((2).\)
Để tồn tại giá trị lớn nhất của hàm số ban đầu thì phương trình \((2)\) phải có nghiệm.
\( \Leftrightarrow {(2y – 1)^2} + {(y + 2)^2} \ge {(4y – 3)^2}\) \( \Leftrightarrow 11{y^2} – 24y + 4 \le 0\) \( \Leftrightarrow \frac{2}{{11}} \le y \le 2.\)
Vậy GTLN của hàm số đã cho là \(2.\)
Bài toán 15: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số \(m\) để giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{m\sin x + 1}}{{\cos x + 2}}\) nhỏ hơn \(2.\)
Chọn C.
Dễ thấy \(\cos x \ne – 2\), \(\forall x \in R\) nên hàm số có tập xác định là \(D = R.\)
Ta có \(y = \frac{{m\sin x + 1}}{{\cos x + 2}}\) \( \Leftrightarrow y\cos x + 2y = m\sin x + 1\) \( \Leftrightarrow m\sin x – y\cos x = 2y – 1.\)
Phương trình trên có nghiệm khi \({m^2} + {y^2} \ge {(2y – 1)^2}\) \( \Leftrightarrow 3{y^2} – 4y + 1 – {m^2} \le 0.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{2 – \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} \le y \le \frac{{2 + \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3}\) \( \Rightarrow {y_{\max }} = \frac{{2 + \sqrt {1 + 3{m^2}} }}{3} < 2\) \( \Leftrightarrow \sqrt {1 + 3{m^2}} < 4\) \( \Leftrightarrow {m^2} < 5.\)
Do \(m \in Z\) \( \Rightarrow m \in \{ – 2; – 1;0;2;1\} .\) Vậy có \(5\) giá trị của \(m\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài toán 16: Giả sử \(M\) là giá trị lớn nhất và \(m\) là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}\) trên \(R.\) Tìm \(2M – 3m.\)
A. \(1 + \sqrt 2 .\)
B. \(0.\)
C. \(1.\)
D. \(8.\)
Chọn D.
Ta có: \(\sin x + \cos x + 2 = 0\) \( \Leftrightarrow \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – 2\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = – \sqrt 2 \) (vô nghiệm).
Do đó hàm số đã cho có tập xác định \(D = R.\)
Ta có \(y = \frac{{\sin x + 2\cos x + 1}}{{\sin x + \cos x + 2}}\) \( \Leftrightarrow (y – 1)\sin x + (y – 2)\cos x = 1 – 2y.\)
Hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất khi phương trình trên có nghiệm \( \Leftrightarrow {(1 – 2y)^2} \le {(y – 1)^2} + {(y – 2)^2}.\)
\( \Leftrightarrow 2{y^2} + 2y – 4 \le 0\) \( \Leftrightarrow – 2 \le y \le 1.\)
Do đó \(m = – 2\), \(M = 1.\)
Vậy \(2M – 3m = 8.\)
Bài toán 17: Gọi \(M\), \(m\) tương ứng là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + 2}}{{\cos x – 2}}.\) Khẳng định nào sau đây đúng?
A. \(3m + M = 8.\)
B. \(3m + M = – 8.\)
C. \(3m + M = 0.\)
D. \(3m + M = – \frac{8}{3}.\)
Chọn B.
Dễ thấy \(\cos x \ne 2\), \(\forall x \in R\) nên hàm số có tập xác định là \(D = R.\)
Ta có \(y = \frac{{2\sin x + 2}}{{\cos x – 2}}\) \( \Leftrightarrow y\cos x – 2\sin x = 2 + 2y.\)
Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ban đầu thì phương trình trên phải có nghiệm \( \Leftrightarrow {y^2} + 4 \ge {(2 + 2y)^2}\) \( \Leftrightarrow 3{y^2} + 8y \le 0\) \( \Leftrightarrow – \frac{8}{3} \le y \le 0.\)
Do đó \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{M = 0}\\
{m = – \frac{8}{3}}
\end{array}} \right..\)
Vậy \(3m + M = – 8.\)
Bài toán 18: Tập giá trị của hàm số \(y = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x + 1\) là đoạn \([a;b].\) Tính tổng \(T = a + b.\)
A. \(T = 0.\)
B. \(T = -1.\)
C. \(T = 1.\)
D. \(T = 2.\)
Chọn D
Cách 1: \(y = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x + 1\) \( \Leftrightarrow \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x = y – 1.\)
Để tồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ban đầu thì phương trình trên phải có nghiệm \( \Leftrightarrow {1^2} + {(\sqrt 3 )^2} \ge {(y – 1)^2}\) \( \Leftrightarrow {y^2} – 2y – 3 \le 0\) \( \Leftrightarrow – 1 \le y \le 3.\)
Suy ra \(y \in [ – 1;3].\)
Vậy \(T = – 1 + 3 = 2.\)
Cách 2: Ta có \(y – 1 = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x.\) Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
\({(y – 1)^2} = {(\sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x)^2}\) \( \le (1 + 3)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 4\) \( \Leftrightarrow – 2 \le y – 1 \le 2\) \( \Leftrightarrow – 1 \le y \le 3.\)
Vậy \(T = – 1 + 3 = 2.\)
Cách 3: \(y = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x + 1\) \( = 2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 1.\)
Do \(\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) \in [ – 1;1]\) nên \(2\sin \left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) + 1 \in [ – 1;3].\)
Vậy \( – 1 \le y \le 3.\)
Bài toán 19: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = 3\sin x + 4\cos x – 1.\)
A. \(\max y = 6\), \(\min y = – 4.\)
B. \(\max y = 8\), \(\min y = – 6.\)
C. \(\max y = 4\), \(\min y = – 6.\)
D. \(\max y = 6\), \(\min y = – 8.\)
Chọn C.
Ta có \(y = 3\sin x + 4\cos x – 1\) \( \Leftrightarrow 3\sin x + 4\cos x = y + 1\) \((*).\)
Ta coi \((*)\) như là phương trình cổ điển với \(a = 3\), \(b = 4\), \(c = y + 1.\)
Phương trình \((*)\) có nghiệm khi và chỉ khi \({a^2} + {b^2} \ge {c^2}\) \( \Leftrightarrow 9 + 16 \ge {(y + 1)^2}\) \( \Leftrightarrow – 6 \le y \le 4.\)
Vậy \(\max y = 4\), \(\min y = – 6.\)
Chú ý:
Ta có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski như sau:
\(|y + 1| = |3\sin x + 4\cos x|\) \( \le \sqrt {\left( {{3^2} + {4^2}} \right)\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)} = 5.\)
Dạng toán 3. Tìm GTLN – GTNN của hàm số lượng giác bằng cách sử dụng bất đẳng thức cổ điển.
Bài toán 20: Cho hàm số \(y = \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x} – 1.\) Gọi \(m\), \(M\) lần lượt là giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số. Khi đó giá trị của \(M + m\) bằng?
A. \(\sqrt 3 + 2\sqrt 2 .\)
B. \(\sqrt 3 + \sqrt 2 – 1.\)
C. \(\sqrt 3 + 2\sqrt 2 – 1.\)
D. \( – \sqrt 3 + 3\sqrt 2 – 1.\)
Chọn C.
Đặt \(t = \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x} .\)
\( \Rightarrow {t^2} = \left( {1 + 2{{\sin }^2}x} \right) + \left( {1 + 2{{\cos }^2}x} \right)\) \( + 2\sqrt {\left( {1 + 2{{\sin }^2}x} \right)\left( {1 + 2{{\cos }^2}x} \right)} \) \( = 4 + 2\sqrt {3 + {{\sin }^2}2x} .\)
\( \Rightarrow t = \sqrt {4 + 2\sqrt {3 + {{\sin }^2}2x} } \) \( \ge \sqrt {4 + 2\sqrt 3 } = 1 + \sqrt 3 .\)
\( \Rightarrow y = \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x} – 1 \ge \sqrt 3 .\)
Dấu bằng xảy ra khi \(\sin 2x = 0\) \( \Leftrightarrow x = \frac{{k\pi }}{2}.\) Khi đó \(m = \sqrt 3 .\)
Mặt khác: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz ta có:
\(\sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x} \) \( \le \sqrt {\left( {{1^2} + {1^2}} \right)\left( {1 + 2{{\sin }^2}x + 1 + 2{{\cos }^2}x} \right)} \) \( = 2\sqrt 2 .\)
\( \Rightarrow y = \sqrt {1 + 2{{\sin }^2}x} + \sqrt {1 + 2{{\cos }^2}x} – 1\) \( \le 2\sqrt 2 – 1.\)
Dấu bằng xảy ra khi \({\sin ^2}x = {\cos ^2}x\) \( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}
{x = – \frac{\pi }{4} + k\pi }\\
{x = \frac{\pi }{4} + k\pi }
\end{array}} \right.\), \(k \in Z.\) Khi đó \(M = 2\sqrt 2 – 1.\)
Vậy \(M + m = \sqrt 3 + 2\sqrt 2 – 1.\)
Bài toán 21: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số \(y = \frac{{2\sin x + 3\cos x + 1}}{{\sin x – \cos x + 2}}.\)
A. \(\frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}.\)
B. \(\frac{{3 – \sqrt {33} }}{2}.\)
C. \(3.\)
D. \(\frac{1}{2}.\)
Chọn A.
Ta có: \(y = \frac{{2\sin x + 3\cos x + 1}}{{\sin x – \cos x + 2}}\) \( \Leftrightarrow (y – 2)\sin x – (y + 3)\cos x = 1 – 2y.\)
\({(1 – 2y)^2}\) \( = {[(y – 2)\sin x – (y + 3)\cos x]^2}\) \( \le \left[ {{{(y – 2)}^2} + {{(y + 3)}^2}} \right]\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right).\)
\( \Leftrightarrow 2{y^2} – 6y – 12 \le 0.\)
\( \Leftrightarrow \frac{{3 – \sqrt {33} }}{2} \le y \le \frac{{3 + \sqrt {33} }}{2}.\)
Bài toán 22: Giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số \(f(x) = {\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x\) lần lượt là:
A. \(\frac{1}{{{2^{1008}}}}\) và \(2.\)
B. \(\frac{1}{{{2^{1009}}}}\) và \(1.\)
C. \(0\) và \(1.\)
D. \(\frac{1}{{{2^{1008}}}}\) và \(\\) 1.\\( \)
Chọn D.
Đặt \(a = {\sin ^2}x\), \(b = {\cos ^2}x.\)
Ta có: \({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x \le {\sin ^2}x + {\cos ^2}x = 1.\) Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = k\frac{\pi }{2}.\)
\({\sin ^{2018}}x + {\cos ^{2018}}x\) \( = 2\left( {\frac{{{a^{1009}} + {b^{1009}}}}{2}} \right)\) \( \ge 2{\left( {\frac{{a + b}}{2}} \right)^{1009}} = \frac{1}{{{2^{1008}}}}.\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{4} + k\frac{\pi }{2}.\)
Vậy giá trị nhỏ nhất bằng \(\frac{1}{{{2^{1008}}}}\), giá trị lớn nhất bằng \(1.\)
Bài toán 23: Cho \(x\), \(y\) là các số thực thỏa mãn \(\cos 2x + \cos 2y = 1.\) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P = {\tan ^2}x + {\tan ^2}y\) bằng?
A. \(\frac{1}{3}.\)
B. \(\frac{2}{3}.\)
C. \(\frac{8}{3}.\)
D. \(3.\)
Chọn B.
Ta có: \(P = \left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – 1} \right) + \left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}y}} – 1} \right)\) \( = 2\left( {\frac{1}{{1 + \cos 2x}} + \frac{1}{{1 + \cos 2y}}} \right) – 2.\)
Áp dụng BĐT cộng mẫu, ta được: \(P \ge 2\left( {\frac{{{{(1 + 1)}^2}}}{{2 + \cos 2x + \cos 2y}}} \right) – 2\) \( = 2.\frac{4}{{2 + 1}} – 2 = \frac{2}{3}.\)
Bài toán 24: Cho hai số thực \(x\), \(y\) thuộc \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) và thỏa mãn \(\cos 2x + \cos 2y + 2\sin (x + y) = 2.\) Giá trị nhỏ nhất của \(P = \frac{{{{\cos }^4}x}}{y} + \frac{{{{\cos }^4}y}}{x}\) bằng?
A. \(\frac{2}{{3\pi }}.\)
B. \(\frac{3}{\pi }.\)
C. \(\frac{2}{\pi }.\)
D. \(\frac{5}{\pi }.\)
Chọn C.
Ta có \(\cos 2x + \cos 2y + 2\sin (x + y) = 2\) \( \Leftrightarrow {\sin ^2}x + {\sin ^2}y = \sin (x + y).\)
Suy ra \(x + y = \frac{\pi }{2}.\)
Áp dụng BĐT cộng mẫu \(\frac{{{a^2}}}{m} + \frac{{{b^2}}}{n} \ge \frac{{{{(a + b)}^2}}}{{m + n}}\) ta được:
\(P \ge \frac{{{{\left( {{{\cos }^2}x + {{\cos }^2}y} \right)}^2}}}{{x + y}}\) \( = \frac{{{{\left[ {{{\cos }^2}x + {{\cos }^2}\left( {\frac{\pi }{2} – x} \right)} \right]}^2}}}{{x + y}}\) \( = \frac{{{{\left[ {{{\cos }^2}x + {{\sin }^2}x} \right]}^2}}}{{x + y}}\) \( = \frac{2}{\pi }.\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = \frac{\pi }{4}.\)
Nhận xét: Việc suy ra \(x + y = \frac{\pi }{2}\) được chứng minh như sau:
Với \(x\), \(y \in \left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\) suy ra \(\frac{\pi }{2} – x\), \(\frac{\pi }{2} – y\) cùng thuộc \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right).\)
Trên đoạn \(\left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right]\), hàm \(y = \sin x\) đồng biến.
Nếu \(x + y /> \frac{\pi }{2}\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x /> \frac{\pi }{2} – y \Rightarrow \sin x /> \sin \left( {\frac{\pi }{2} – y} \right) = \cos y}\\
{y /> \frac{\pi }{2} – x \Rightarrow \sin y /> \sin \left( {\frac{\pi }{2} – x} \right) = \cos x}
\end{array}} \right..\)
\( \Rightarrow {\sin ^2}x + {\sin ^2}y\) \( = \sin x.\sin x + \sin y.\sin y\) \( /> \sin x.\cos y + \sin y.\cos x\) \( = \sin (x + y)\): mâu thuẫn.
Tương tự cho \(x + y < \frac{\pi }{2}.\)
Trường hợp \(x + y = \frac{\pi }{2}\): thỏa mãn.
Bài toán 25: Cho \(a\), \(b\), \(c\) là các số thực thỏa mãn \({a^2} + {b^2} + {c^2} = 4.\) Tìm giá trị lớn nhất \(M\) trong tất cả các hàm số \(y = a + b\sqrt {\sin x} + c\sqrt {\cos x} \) với \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right].\)
A. \(M = \sqrt {1 + \sqrt 2 } .\)
B. \(M = 1 + \sqrt 2 .\)
C. \(M = 2\sqrt {1 + \sqrt 2 } .\)
D. \(M = 2(1 + \sqrt 2 ).\)
Chọn C.
Ta có \({(a + b\sqrt {\sin x} + c\sqrt {\cos x} )^2}\) \( \le \left( {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)(1 + \sin x + \cos x)\) \( = 4\left[ {1 + \sqrt 2 \sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)} \right]\) \( \le 4(1 + \sqrt 2 ).\)
Suy ra \(a + b\sqrt {\sin x} + c\sqrt {\cos x} \le 2\sqrt {1 + \sqrt 2 } .\)
Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{a = \frac{b}{{\sqrt {\sin x} }} = \frac{c}{{\sqrt {\cos x} }}}\\
{{a^2} + {b^2} + {c^2} = 4}\\
{\sin \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right) = 1}
\end{array}} \right.\), \(x \in \left( {0;\frac{\pi }{4}} \right]\) \( \Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
a = \frac{{2\sqrt[4]{2}}}{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}\\
b = c = \frac{2}{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}
\end{array}\\
{x = \frac{\pi }{4}}
\end{array}} \right..\)
Bài toán 26: Tập giá trị của hàm số \(y = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x + 1\) là đoạn \([a;b].\) Tính tổng \(T = a + b.\)
A. \(T = 1.\)
B. \(T = 2.\)
C. \(T = 0.\)
D. \(T = -1.\)
Chọn B.
Ta có \(y – 1 = \sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x.\)
Mặt khác áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
\({(y – 1)^2}\) \( = {(\sin 2x + \sqrt 3 \cos 2x)^2}\) \( \le (1 + 3)\left( {{{\sin }^2}2x + {{\cos }^2}2x} \right) = 4\) \( \Leftrightarrow – 2 \le y – 1 \le 2\) \( \Leftrightarrow – 1 \le y \le 3.\)
Vậy \(T = – 1 + 3 = 2.\)
